《1.3 组合》 课件 1.ppt

1、1.3 组合 课件 1,第一章,1.1.1集合的概念,1通过实例，理解组合的概念 2能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际问题 本节重点：组合的概念 本节难点：组合数的两个性质,1组合的定义 一般地，_，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 有关求组合的个数的问题叫作组合问题,从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素为一组,1组合的定义 (1)给出的n个元素是互不相同的，且从n个元素中抽取m个元素是没有重复抽取情况的，因而这m个元素也是互不相同的，这就决定了mn. (2)组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关 (3)由定义

2、可知，两个组合相同，只需这两个组合的元素相同即可,2组合数 我们可以从集合的角度来理解，从n个不同元素中取出m个元素并成一组是一个组合，任取m个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为：Aab，ac，bc所谓组合数就是求这个集合的元素的个数从集合中可以清楚地了解组合之间的互异性,3组合数公式 (1)组合数公式的推导应注意以下两点： 遵循从特殊到一般的原则，重点研究了从3个不同元素中取出2个元素的组合数推导过程中采用了穷举法 遵循以退为进的原则，先建立了组合与排列之间的对应关系，依据分步计数原理，把求从n个不同元素中取出m个元素的排列数的过

3、程分为两步完成：求组合数；求全排列数从而利用这种对应关系和已知的排列数公式得到组合数公式我们应理解和掌握这种分步解决问题的思路，它在解决排列组合应用题时非常重要,性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数 性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的具体应用,判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数 (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10

4、个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？,排列问题与组合问题的辨别,分析解答本题主要是分清取出的m个(2个或3个)是进行组合还是排列，即确定是与顺序有关还是无关,点评区别排列与组合首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题,判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字

5、相加得到一个和，这样的和共有多少个？ 分析取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关则为排列问题，与顺序无关则为组合问题,解析(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题 (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题,有关组合数的计算或证明,点评解和组合数有关的方程、不等式、求值、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件,点评(1)有关组合数的计算问题，一般先用组合数的两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算

6、，但当组合数中含有字母时，要限制字母的范围，这往往是解题的关键(2)有关组合数的证明问题，一般先用组合数的两个性质化简，再用组合数公式的阶乘形式去证明,(2013晋中祁县二中高二期末)从4名男生，3名女生中选出3名代表，(1)不同的选法共有多少种？(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？(3)代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？ 分析(1)不受限制，从7人中任意选3人，按组合定义计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即1男2女或2男1女，可分类求解，也可间接求解,组合类应用题,方法规律总结解答组合应用题的基本思想是“化归”，

7、即由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解其关键环节是分析判断实际问题有无顺序元素顺序改变不影响其结果的便是组合问题,一个小组有10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有1名女生的选法有多少种？ 分析选出3名代表不必考虑它们的顺序，因而该问题是组合问题由于对代表中女代表的人数有要求，我们视女生为特殊“元素”,点评按元素的性质分类、按事件的发生过程分步，是处理组合问题的原则要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义，从而选择简便的解法,有6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)平均分给甲、乙、丙三人； (2)甲得1本，乙得

8、2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4)平均分成三堆(组)； (5)一堆1本，一堆2本，一堆3本,分配问题,点评本题利用计数原理和组合知识，解决了分配问题解决此类问题关键是实现合理的转化，最基本最简单的情形是分到具有的人，并且各人分的数目确定，其他的都要向这种情形转化,现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人，有多少种不同的方法？ 解析本例要求5个人去四个车间，每个车间至多去2人，但是并没有强调每个车间必须去几人，因此，本例可分为如下两类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，或者，有两个车间各去2人，一个车间去1人，一个车间不去人 依题意，至

9、少有一个车间去2人，至多有两个车间各去2人，因此，实习方案可分为两类：,假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？ (1)没有次品； (2)恰有两件是次品； (3)至少有两件是次品 分析本题是组合问题，解答本题应分清“没有”、“恰有”、“至少”的含义，根据题目中的条件，合理地分类或分步进行解决,抽取问题,某厂生产九台电视机，其中A型五台，B型四台，要抽取三台检验，必须包括A，B两种型号的，问有多少种不同的抽取方法？,点评有n个元素，其中甲类元素n1个，乙类元素n2个(n1n2n)现从n个元素中取出m个元素的组合，其中甲类元素m1个，乙类元素m2个(m1m2m

10、)问有几种不同取法是组合问题的基本模式之一这类问题的解法是：由乘法原理分两步完成，共有Cm1n1Cm2n2种不同取法,将7个相同的小球放入4个不同的盒子中 (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？,插隔板法,求方程x1x2x3x412的正整数解 解析将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图),点评用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径,有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_种(用数字作答),2从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为() A85B56 C49D28 答案C 解析根据题意，事件“甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选”可分以下2类：,4已知甲乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成