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1、第一节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、小结与思考,一、留数的引入,.,的某去心邻域,定义,记作,则沿,二、利用留数求积分,说明:,留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,证,证毕,两边同时除以 且,如图,2.留数的计算方法,定理,成洛朗级数求,如果 为 的 级极点,那末,推论1,推论2,如果,的一级极点,且有,如果 为 的一级极点, 那末,例1,求函数,在 z = 1 处的留数.,解,由于z = 1是分母的一级零点，且分子在 z = 1 时,不为零，,因此z = 1是 f (z) 的一级极点.,则,由于z =
2、 1是分母的二级零点，,且分子在 z = 1 时不,为零，,因此z = 1是 f (z) 的二级极点.,则,分析,由规则3得,计算较麻烦.,解,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将n,但有时把m取得比实际的,如上例取,答案：,或,例3,求函数,在 z = 0 处的留数.,解,z = 0 是 f (z) 的本性奇点，且,相乘后c-1为,于是,例4,计算积分,解,由于,所以,三、在无穷远点的留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.定义,C
3、为圆环域内绕原点的任何一条负向简单闭曲线，,例5,求,在 z = 处的留数.,解,由于,则,证,由留数定义有:,证毕,说明: 由定理得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点: 使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),例6,计算积分,解,被积函数 f (z) 在整个复平面上有7个孤立奇点：,前6个奇点均在积分区域内，由留数定理,可转化为f (z)在点的留数，由于,由Res (f (z), ) = 1, 所以,四、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复 积分.,思考题,思考题答案,放
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