自动控制原理_根轨迹法

1、J.Z. Xiao, CEIE, HBU,1,第四章 根轨迹法 反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函 数：极点、比例系数、零极点分布等。 1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系 统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在 关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方 法根轨迹法。 将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过 直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合 性能的分析。,助是非常便利的！,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,电流,温度,电流/ 电压,扭矩/ 转速,阀门 开度,缸位移 被控对象都是简单的输入和输出 间的开环关系，而最终是要闭环,的。如果能根据开环系统判断

2、闭 环系统的极点、零极点分布、开 环增益等，那么对系统控制的帮 W.R.Evans 2,采用根轨迹 解决！,= 2,s1 = +, s2 = ,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,3,一、 根轨迹的基本概念,K s + s + K,K s( s + 1) + K, ( s) =,1 2,1 2,1 4K 2,1 4K 2,闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式,1. 根轨迹概念,K s(s + 1),R(s),-,C(s),-1,j,K=0,K=0.5,K=0.5,K=0.25,K=0,-0.5,-0.5,0.5,0,图4-2 系统的根轨迹,J.Z. Xiao, CEI

3、E, HBU,4,根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹。 （1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复 平面的左半平面。 （2）当0K0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个,实根，系统处于过阻尼状态。当K0.25时，两个特征根为位,于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25 时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于 临界阻尼状态。 （3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动 态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5j0.5。, = 0.707, n = 0.707,，,2, 1, e,J

4、.Z. Xiao, CEIE, HBU,5,2. 根轨迹方程,G(s) 1 + G(s) H (s),系统的闭环传递函数: (s) =,C（s）,R（s）,G (s),H (s),闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= 1 G(s)H (s) e argG ( s ) H ( s ) = 1 e j ( 2 k +1),G(s) H (s) = 1 argG (s) H ( s) = (2k + 1) k = 0 , 1, 2 L,模条件 角条件, ( z ), ( s + 1), (T s + 1), (s z ), (s p, ( p, ( s z,=j 1 | s z j | ,=

5、 1 , K = m,| s pi | ,=i 1,=i 1 | s pi |, , ( s z,K, ( s p ),K | s z j |,) ( s pi ) = (2k + 1),J.Z. Xiao, CEIE, HBU,6,、极,i,i j,= K,m i =1 n j =1,*,m i =1 n j =1,j ),G(s) H (s) = K,i,K = K,m i =1 n j =1,*,j ),将根轨迹方程写成零迹增益点表示的矢量方程为： 开环增益,),i,m * j =1 n i =1,j,= 1 = e j ( 2 k +1) (k = 0, 1, 2, L),n, * ,

6、m j =1,* n,n i =1,m j =1,j,模值方程和相角方程分别为：,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,7,在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可 （因为根轨迹是K*从0到，根位置的变化过 程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，而对应的 什么K*值并不重要）。 当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅 值条件。,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,8,例：系统的开环传递函数为,K * ( s z1 ) s ( s p 2 )( s p 3 ),G ( s ) H ( s ) =,j,S1,P2,2,L3,3,L4,1 P1,L2,L1 1,P3 幅值条件和相角条件图示

7、,arg(s1 z1 ) args1 + arg(s1 p2 ) + arg(s1 p3 ) = (2k +1) 1 (1 + 2 + 3 ) = (2k + 1) z1,此点处的开环根轨迹增益,L2 L3 L4 L1,=,s1 s1 p2 s1 p3 s z1,K * =,用角条件判断s1是否属于根轨迹,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,9,例 利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的 开环传递函数仍为,K s ( s + 1),G ( s ) H ( s ) =, 确定实轴上的根轨迹,正实轴,实轴上原点与-1点之间,-1点左边, ,(0.5 + j 0),K,K = 0.5

8、 0.5 + 1 = 0.25,(0.5 j 0.5),K,K = 0.5 j0.5 0.5 j0.5 + 1 = 0.5,根轨迹上点,所对应的,所对应的,值,根轨迹上点,在实轴外任取一点 s1位于（-1， 0）的垂直平分线 用模条件确定系数K的值,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,10,只需做出上半s ：根轨迹在s 面上的分支数等于,系即可以画出下半s n,也就是分支数与,二、根轨迹绘制的基本规则 法则1:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于实 轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实 轴。 法则2:根轨迹的分支数平面的根轨迹部分，然后利用对称关 闭环特征方程的阶数平面的根轨

9、迹部分 闭环极点的 n m * j =1 i =1 数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零 点)。, (s p ) + K (s z ) = 0,( p1 )( p2 )L( pn ) + ( z1 )( z 2 )L( z m ) = 0,1,* ,(s p j ) + (s zi ) = 0, (s p,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,11,证明：,*,n m j =1 i =1,j i,) = 0,n j =1,j,s = p j , j = 1,2L n,m i =1,n,K j =1,1 q,s =,1 1 1 1 1 1 1 K * q q q q q q,根轨

10、迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点,根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*,的根轨迹点。,令,等式两端同时乘以qn，可得 1 * 当K* 时，上式化为 q n m (1 z1 q)(1 z 2 q) L (1 z m q) = 0 这仍为n次方程，有n个根存在，即,q = 0 （n - m重）,1 z m,1 1 , z1 z 2,L,s = （n - m重）,z1 , z 2 ,L z m, arg(s z ) arg(s p,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,12,法则4: 实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右 侧，开环零、极点数目之和应为奇数。,（1）位于点si左侧的开环 零、极

11、点指向si的矢量的相位 角均为0，在相角条件中，对 总相角没有贡献。,（2）一对共轭开环极点（或 共轭开环零点）指向si的矢量,的相位角之和恒为2也不必 考虑。 （3）实轴上根轨迹的确定完 全取决于点si右侧的开环零、,极点分布。由相角条件得： si右边实轴上的开环零、极,点个数之和为奇数时,j,P1 0,P2,P3,z1,si,P5,P4,实轴上根轨迹,) = (2k + 1),j,m n i =1 j =1,i, p z, =,j i (2k + 1), =,n m, (s z ),s m + bm 1 s m 1 + L + b1 s + b0,G(s) H (s) = K = K,s

12、n + an 1 s n 1 + L + a1 s + a0, (s p,（bm 1 = zi,an 1 = p j）,同除分子 G(s) H (s) = n m,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,13,法则5: 根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐 标和渐近线(参数趋于无穷)与实轴正方向 的夹角分别为,n m,n m,j =1 i =1 k = 0,1,2,L, n m 1,j ),i,m * i =1 * n j =1,证明：,m i =1,n j =1,s =,s,K * s n m + (an1 bm 1 )s n m 1,K * + (an1 bm 1 )s n m 1L,由

13、根轨迹方程,s n m + (a n1 bm 1 )s n m 1K *,s n（1 +,s n （1 +,) + L,n m,a n1 bm 1 n m, p z,an 1 = p j）,（bm 1 = zi,= K, bm 1 n m,（1 + n1,n m,* n m,s,（1 + n1, bm 1 n m,2!(n m) n m, 1)( n1,14,m,）= K *,an1 bm1 s,m,）= K * e j ( 2 k +1),an1 bm1 s,k = 0,1,2,L, n m 1,e,s,= K,j ( 2 k +1) n m,1 * n m,1,）,s（1 +,+,(,1

14、1,a,1 n m,s,a, bm 1 2 s,an1 bm 1 s,= 1,1 ）,s,a,1,1 n m,a n1 bm 1 s,= 1,）,当s-时，上式可近似为,两侧开(n-m)次方,e,= K,j ( 2 k +1) n m,1 * n m,a n1 bm 1 n m,s,m i =1 n j =1 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,n m j i 1 j ( 2 k +1) j =1 i =1 e 即得渐近线的坐标与夹角。,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,15,规则6： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角 定义一：两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上（通常为 实轴）的

15、交点称为根轨迹的 分离点或汇合点 ； 定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分 离点切线方向之间的夹角。,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,16,F ( s ) = D ( s ) K * N （ s） 0,基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的 重根。设,= 1,N (s) D(s),G(s) H (s) = K ,闭环系统特征方程：,F ( s ) = D ( s ) K * N （ s） 0 F ( s ) = D ( s ) K * N （ s） 0 D ( s ) N （ s ） D ( s ) N （ s ） 0 确定分离点或汇 合点的方法 l条根轨迹进入

16、并离开分离点时的分离角为：,(2k + 1) / l,k = 0, 1, 2, L, l 1,=,+ K,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,17,例4-3 已知单位反馈控制系统，试求系统根轨迹 的分离点。,k s(s + 1)(s + 2),C (s),R(s) 解：易知闭环系统特征方程为： F (s) = D(s)K * N（s）= s(s + 1)(s + 2) = 0,dD ( s ) dN ( s ) ds ds = 3 s 2 + 6 s + 2 = 0,dF ( s ) ds,解方程为：,Re,Im,0, 1, 2,s1 = 1.577,s2 = 0.423,！根据根轨迹在

17、实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍,去。所以后者为根轨迹的分离点。, pk = ( 2 k + 1) + ( p k z j ) ( p k p i ), zk = (2k + 1) + ( zk pi ) ( zk z j ),设S1在根轨迹上，则,3,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,18,法则7: 根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角,i k j k,1,P2,z1,S1,P4,j P34 1 P1 0 4,2,m n j =1 i =1 n m i =1 j =1 1（1 2 3 4） (2k + 1),入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角,其它各开环零点指向本零点的矢

18、量的方向角反向, 31（1 2 4）m (2k + 1) 出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角 其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角反向 同理：, ,法则8: 根轨迹与虚轴的交点 方法一：应用劳斯判据 当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一 列中包含K * 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处 的K *值。利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必 可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚 轴交点处的 值。 方法二：应用闭环特征方程直接计算,Re1 + G( j ) H ( j ) = 0 Im1 + G( j ) H ( j ) = 0 19,1 + G( j ) H (

19、 j ) = 0 s = j J.Z. Xiao, CEIE, HBU,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,20,s 33s 22sk = 0,例：原系统闭环特征方程为 方法一：建立劳斯表如下,2 k 0,1 3 2-k/3 k,S3 S2 S1 S0,由劳斯表，令2-k/3=0，得k=6。 由s2行的系数构成辅助方程，且令k=6，得,s1，2 j 2,3s 2 + 6 = 0,21,由此根轨迹与虚轴的交点为,由上方程解得：1） 0，k = 0,p1 = 0, j 2,k * = k = 6,此为根轨迹的一起始点 2） 2，k = 6,此时根轨迹增益为 J.Z. Xiao, CEIE,

20、HBU,方法二：令 s = j 代入闭环特征方程，得 j 3 3 22 jk = 0 令其实部和虚部分别为零，得 3 2k = 0 , (s z ), (s p ),s zi s, z,+ L + (1),s n p j s n 1 + L + (1) n p j, z,= p jK (1), p,= p j, p,s p j s, m,+ L + (1) p jK s zi s,+ L(1) zi = 0, p,) = s pcj s, (s p,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,22,m,i =1 ,m,m 1,n m,j =1 i =1,n *,n 1,n j =1,n,i,n

21、m,cj,m i =1,*,n j =1,n j =1,规则9：闭环极点的和与积 开环零极点表示的特征方程,闭环极点表示特征方程,*,*,= 1,i,m m n n,i =1 i =1 j =1 j =1,m m1 m,m i =1 n j =1,i j,= K,G (s) H (s) = K,= 0,n j =1,cj,n,n 1,n j =1,n,n j =1,cj,+ L + (1),对应系数相等：,cj,n j =1,n j =1,n m 2 时,K (s + 2),(,),s(s + 3) s 2 +2s + 2,P4,P2,P3,P1 0,要求绘制系统的根轨迹。,例1,n=4，m=

22、1,开环零点： -2 开环极点：0，-3，-1j1,4条根轨迹分别起始于开,环极点0，-3，-1j1,终止于开环零点-2和3个 无穷远点。 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,-3,-,-,-1.0,1.0,j 1.61,-1.61 23,-1,z o -2,-,-,三、根轨迹绘制举例 已知控制系统的开环传递函数为G0 (s) =, 3 , , p z, =,=,= 1,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,24,P2,),K (s + 2) s(s + 3)(s 2 +2s + 2,已知控制系统的开环传递函数为 G0 (s) = 要求绘制系统的根轨迹。,例1,j,-,1.0,1.6

23、1,P1 0 -1.0 -1.61,-1 P3,z o -2,- -,-,渐近线的方向角为,(2K + 1) n m,P4 -3 渐近线与实轴的交点为 i j n m 0 + (3) + (1 + j ) + (1 j ) (2) 4 1,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,P4,P2,P3,P1 0,要求绘制系统的根轨迹。,),K (s + 2) s(s + 3)(s 2 +2s + 2,已知控制系统的开环传递函数为 G0 (s) =,例1,-3,-,-,-1.0,1.0,j 1.61,-1.61 25,-1,z o -2,-,-,实轴上根轨迹分布：,( , 3, 2, 0,P4,P2

24、,要求绘制系统的根轨迹。,),K (s + 2) s(s + 3)(s 2 +2s + 2,已知控制系统的开环传递函数为 G0 (s) =,例1,-3,-,-,P1 0 -1.0,1.0,j 1.61,-1.61 26,-1 P3,z o -2,-,-, = 45o (135o + 90o + 26.6o ) + 反向 26.6o J.Z. Xiao, CEIE, HBU,复极点 p2 处的出射角, 8 + 2K = 0, = 0 = 1.61, ,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,已知控制系统的开环传递函数为,),K (s + 2) s(s + 3)(s 2 +2s + 2,G0 (

25、s) =,例1,要求绘制系统的根轨迹。 根轨迹与虚轴的交点：,解得,将s=j带入闭环特征方程 S 4 + 5S 3 + 8S 2 + 6S + k (S + 2) = 0,整理后得 5 3 + (6 + K ) = 0 4 3, K = 0 K = 7,; 。,P4,P2,P3,P1 0,j,-3,-,1.0,1.61,-1.0 -1.61,-1,z o -2,- -,-,Kcr7,27 THE END,28,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 2) (s 2 + 4s + 9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,n=4，m=1 开环零点：-2,(

26、 注意: 为二重极点,即各有 两条根轨迹射出),4条根轨迹分别终止于开环 零点-2及3个无穷远零点。 渐近线有n-m=3条。 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,开环极点： 2 j 5,(s + 4s + 9), 3 , , p z, =,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,29,例2,K (s + 2) 2 2 的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,0,P1,P2 o-2,P3,P4,j 渐近线的方向角为,(2K + 1) n m,= 2,=,(2 j 5 ) 2 + (2 + j 5 ) 2 (2) 4 1,渐近线与实轴的交点为 i j n m,30,例2,的系

27、统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 2) (s 2 + 4s + 9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,实轴上根轨迹分布为: J.Z. Xiao, CEIE, HBU,( , 2,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,31,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 2) (s 2 + 4s + 9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,-1350,450,确定复极点 p1 处的出射角 2 = 90 o (90 o + 90 o ) + 反向 90 o 或 270 o, =45或-135,由根轨迹的对称性：p3 处出

28、射角为：- 45或135,d(s + 4s + 9) d K (s + 2) 2 2,32,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 2) (s 2 + 4s + 9)2,j,0,P1,P2,P3,P4,-1350 o-2,450,求分离点和会合点：,2,K (s + 2) 解得, (s + 4s + 9) =0 ds ds,s1 , s 2 = 2 j 5,s3 = 0.17 (舍弃),s4 = 3.29 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,(s + 4s + 9), 34 + 81 + 2K = 0, 8 + ( ) = 0,72 + K,J.Z. X

29、iao, CEIE, HBU,33,例2,K (s + 2) 2 2 的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (s) =,j,0,P1,P2,o-2 P3,P4,-1350,450,(s 2 + 4s + 9) 2 + K (s + 2) = 0, = 21 = 4.58 K cr = 96,根轨迹与虚轴的交点：,将s=j带入闭环特征方程,整理后得 4 2 3 解得有意义的解为,Kcr96,( j 21) + ( j 21) + s3 + s4 = 2(2 + j 5) + 2(2 j 5) = 8,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为 G0 (

30、s) =,K (s + 2) (s 2 + 4s + 9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,-1350,450,Kcr96,解得,Kcr = 96 时, 系统另外两闭环极点 s 3,s 4 的位置,因为 n m 2 41 ( j 21)( j 21)(s3 )(s4 ) = 92 + (1) (96)(2) = 273,s3 = 2.27,s4 = 5.73,34 THE END,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,35,例3,要求绘制系统,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,K ( s + 0.125) s 2 ( s + 5)( s + 20 ) (s +

31、50),-50,-20,-5,-0.125 0,Im,Re,n=5，m=1 开环零点：-0.125 开环极点：,0（二重），-5，-20，-50,5 条根轨迹分别终止于开环 零 点 -0.125 及 4 个 无 穷 远 零 点。渐近线有n-m=4条。,K ( s + 0.125),s ( )( ) (s + 50),s + 5 s + 20,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,36,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.125 0,Im,R,ee,渐近线的方向角为,渐近线与实轴的交点为, 4,3 4, ,(2 K + 1)

32、 n m,= 18.7,(5) + (20) + (50) (0.125) 5 1,=,pi z j n m, = ,K ( s + 0.125),s ( )( ) (s + 50),s + 5 s + 20,37,例3,2,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.125 0,要求绘制系统 Im,R,ee,实轴上根轨迹分布在 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,50, 20, 5, 0.125,K ( s + 0.125),s ( s + 5)( s + 20 ) (s + 50),要求绘制系统,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,38,例3

33、,2,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.125 0,R ee,求分离点和会合点： Im 作如下简化： 在绘制原点附近的根,轨迹曲线时，略去远离 原点的极点的影响；,在绘制远离原点的根 轨迹时，略去原点附近 的一对相距很近的零、 极点的影响,K ( s + 0.125),s ( )( ) (s + 50),s + 5 s + 20,s1 = 0.25,s2 = 0,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,39,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.125 0,Im,R ee,(1).

34、 求原点附近的根轨迹和会合点,求原点附近的根轨迹时，简化的传 递函数为,开环极点：0（二重极点）：开环,得,K (s + 0.125) s 2,G0 (s) =,14243 会合点,重积分分离点,零点：-0.125。 实轴上的根轨迹分布为 ( , 0.125 。 会合点位置：由 s 2 2s(s + 0.125) = 0,K ( s + 0.125),s ( )( ) (s + 50),s + 5 s + 20,G0 (s) =,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,-50,-20,-5,-0.125 0,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为 G0 (s) = 的根轨迹。,Im,R

35、 ee,(2). 求远离原点的根轨迹和分离点,求远离原点的根轨迹时，简化的传 递函数为,分离点位置：由,K s(s + 5)(s + 20)(s + 50),s3 + 56.25s 2 + 675s + 1250 = 0 得 144424443 分离点 s3 = 13.7(舍弃),40 THE END, arg(s z ) arg(s p,其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角,41,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) = 该系统在正反馈情况下的根轨迹。,K s ( s + 1)( s + 2),分析：正反馈特征方程与 1 G0 (s) = 0 即 G0 (s) = 1

36、同根。所以，角条件变为,j,m n,i,) = 2k,i =1 j =1,模条件不变。 根据角条件的变化，正反馈绘制根轨迹需要修改的规则有 (1)实轴上的根轨迹分布 如果右边实轴上的开环零、极点个数之和为偶 数，则该区域必属于根轨迹。 2k n m (3)从复极点出发的根轨迹的出射角以及趋向于复零点的根轨迹的入射角。 出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角 其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角,入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,Re 42,Im n=3，m=0 开环极点：0，-1，-2,3条根轨迹都终止于无穷远 渐近线有n-m=3条。 J.

37、Z. Xiao, CEIE, HBU,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) = 该系统在正反馈情况下的根轨迹。,K s ( s + 1)( s + 2),= ,0,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,43,Re,Im,渐近线与实轴的交点为,= 1,0 1 2 3 0,=,pi z j n m, = ,渐近线的方向角为,2 3, =,2k n m,实轴上根轨迹分布：-2,-1，0,+）。,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) = 该系统在正反馈情况下的根轨迹。,K s ( s + 1)( s + 2),1 s(s + 1)(s + 2) = 0,Re

38、 44,Im 实轴上分离点：,由,ds(s + 1)(s + 2) d1 ds ds,得分离点 s1 = 0.423 (舍) s2 = 1.577 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) = 该系统在正反馈情况下的根轨迹。,K s ( s + 1)( s + 2),例5,，要求绘制根轨迹,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 1) s ( s 1)( s + 4),开环极点：0，1，-4 3 条根轨迹一条终止于零 点-1，2条终止于无穷远。 渐近线有n-m=2条。 J.Z. Xiao, CEIE, HBU,Im n

39、=3，m=1 开环零点：-1,Re 45,= ,J.Z. Xiao, CEIE, HBU,46,= 1,(0 + 1 4) (1) 3 1,=,pi z j n m, = ,1 2, =,(2k + 1) n m,实轴上根轨迹分布：-4,-1，0,1。,Im 渐近线的方向角为,Re 渐近线与实轴的交点为,例5,，要求绘制根轨迹,已知系统的开环传递函数为 G0 (s) =,K (s + 1) s ( s 1)( s + 4),47,例5,，要求绘制根轨迹 Im Re,K (s + 1) s ( s 1)( s + 4),已知系统的开环传递函数为 G0 (s) = 实轴上分离点： 由,得有意义的分离点为0.44。,d s( s 1)( s + 4) d ( s + 1) ds ds,( s + 1), s( s 1)( s + 4) = 0, 3 , 2 2,分离角： (2k + 1) / l = J.Z. Xiao, CEIE, H