与角平分线有关的辅助线(经典,加深).ppt

1、与角平分线有关的辅助线,台州市书生中学,对应边相等、对应角相等,全等形,角平分线,SSS、SAS、ASA、AAS；HL,全等三角形,性 质,定义,应用,判 定,全等三角形知识体系,既然全等三角形的对应边和对应角都相等。那么今后在证明线段（边）和角相等的问题中，全等就将被作为一个基本方法来使用（但请注意不是唯一的方法），,学以致用,生活中的对称,轴对称,等腰三角形,等边三角形,轴对称图形,用坐标表示轴对称,利用轴对称变换作图：,作轴对称图形,轴对称知识体系,线段的垂直平分线,如图，ABCDEF， （1） 若BAC=70， F=80，则 B= （2）若 AB=6， DF=4,则 EF的长度可取下列

2、各数中的哪个值？ （ ） （A）1 （B）2 （C）9 （D）11 （3）若 ABC的面积为24，则 DEF的面积为 （）若AG是ABC的一条中线，DH是DEF的一条中线，且AG=5，则DH=,30 ,C,24,70,80,5,H,例：已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO，过O任作一直线EF分别交BC、AD于E、F，求证：OE=OF。,BO=DO，, BOC = DOA（对顶角相等）,CO = AO, BOC DOA（SAS）, B= D （全等三角形的对应角相等）,OB=OD，, BOE= DOF, BOE DOF（ASA）, OE=OF（全等三角形的对应边相等）,证明：,在BO

3、E与DOF中, B= D,在BOC与DOA中,例题讲解,须两次全等。,如图，在ABC中，AD平分BAC, BD=CD, 求证： B= C,证明：作DEAB ，DF AC ，垂足分别为EF AD平分BAC， DEAB ，DF AC DEDF， BEDCFD90 在BDE和CDF中 BDCD DEDF BDECDF B= C,F,E,例题讲解,如图， B C90，E是BC中点，DE平分ADC， 求证（1） AE平分DAB，（2）ABCDAD， （3）AEDE。,证明：作EF AD垂足为F DE平分ADC EF AD ， C90 EFEC E是BC中点 ECEB EFEB EF AD， B90 AE

4、平分 DAB,活学活用,例4.如图，ABCD,， AE平分 DAB ，DE平分ADC。 求证： ABCDAD, E是BC中点.,证明：在DA上截取DFDC，连结EF,辅助线做法一：向角的两边作垂线段（利用角平分线性质），自角平分线一点，是一种常见的。,概括归纳,归纳：当题目的条件出现于某个角的平分线时，可在这个 角的两边截取相等的线段，利用角的轴对称性构造全等三角形，也是一种常用的辅助线。,例3. 如图所示，在四边形ABCD中，ABAD，AC平分BAD； B ADC互补 求证：CDBC,证明：作CE AD，交AD延长线于E 作CF AB，垂足为F AC平分 BAC，CE AD，CF AB CE

5、CF， CEDCFB90 B与 ADC互补 B ADC180 CDEADC180 CDE B 在CED和CFB中 CEDCFB CDE B CECF CED CFB CDBC,例5.如图所示，在四边形ABCD中AB AD，AC平分BAD， B与D互补。 求证：CDBC。,证明：在AB上截取AEAD，连结CE AC平分BAD DAC BAC 在ADC和AEC中 ADAE DAC BAC ACAC ADC AEC CDCE， D AEC B与D互补 BD 180 AEC CEB 180 CEB B, CECB CDBC,例6. 如图，点P是ABC的角平分线AD上任一点，且 ABAC。 求证：PBP

6、CABAC,例7.如图所示，ABCD，E是BC中点，DE平分ADC 求证：AE平分BAD。,D,F,E,例8：如图，ABAC，A90，BD平分 ABC， CEBD，交BD的延长线为E。 求证：BD2CE,例9：已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D为垂足，ABAC。 求证：2=1+B,A,B,C,E,D,2,1,3,归纳:利用角的轴对称性作角平分线的垂线，构造一对全等 三角形（等腰三角形），又是与角平分线有关的一种 添加辅助线的方法。,小结 1.全等三角形和轴对称的基础知识 2.与角平分线有关的辅助线（常见有三种）。,: （1） 基于角平分线的性质作辅助线。 （2） 基于以角平分

7、线为对称轴而作的辅助线。 （3） 基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅 线。,三.用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_.,(x, y),( x, y),4、轴对称的性质：,关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。,1、什么叫线段垂直平分线？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。,2、线段垂直平分线有什么性质？,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 （纯粹性）。,你能画图说明吗？,线段的垂直平分线,3.逆定理： 与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）,利用轴对称变换作图：,如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？,A,B,L,P,等边三角形,1.等边三角形的性