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文档简介
1、1,一、收敛半径与敛散性.,第四、五章 级数与留数,二、解析函数的泰勒展开,三、洛朗展式,四、判别奇点类型,五、求各奇点处留数,六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分,2,复数项级数,函数项级数,充 要 条 件,必 要 条 件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝 对 收 敛,运算与性质,收敛条件,条 件 收 敛,复数列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,3,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,留数定理,围线积分,4,一、收敛半径与敛散性.,解,收敛,收敛,例1 判别级数 的敛散性.,1. 敛散性,（转化为实级数的判别）,5,解,由正项级数的比值判别法
2、知,绝对收敛.,例2 判别级数的敛散性.,6,（B）,（C）,（D）,（A）,2.收敛半径,C,练习,(比值、根值、简便方法：|z-|),2设函数,圆环内的洛朗展开式有 m个，,那么m = ( ),（A）1,在以原点为中心的,（B）2,（D）4,（C）3,C,7,若,则双边幂级数,的收敛域为( ),（B）,（A）,（C）,（D）,例3,A,8,常见函数的泰勒展开式,二、解析函数的泰勒展开,9,解,例6 求 在 的泰勒展式.,由于,10,例7,分析：利用逐项求导、逐项积分法.,解,所以,11,例8,分析: 利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数 分成部分分式后, 应用等比级数求和公式.,解,1
3、2,故,两端求导得,13,14,例9,解,三、洛朗展式,(1. 利用已知函数展开式； 2.分式：注意|g(z)|是否小于1),15,例10,解,有,16,17,18,解,四、判别奇点类型,19,解,20,21,练习：,是函数,的那种类型奇点,22,例12 求函数 的有限奇点, 并 确定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,23,五、 求各奇点处留数,留数的计算方法,定理,成洛朗级数求,如果 为 的 级极点,那末,24,推论1,推论2,如果,的一级极点,且有,如果 为 的一级极点, 那末,25,例13 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,26,解,27,解,为奇点,当 时 为一级极点，,28,29,例14 计
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