2.2.3等差数列的前n项和

1、2.3 等差数列的前n项和,明德中学 王利,新课导入,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。,传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,问题探究,德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：123100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？,问题探究,(1100)(299)(5051)101505050.,高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3

2、，n，前100项的和的问题。那么，123n的值又该如何求呢？,若用高斯的算法，需要分类讨论.,首尾配对相加，将加法问题转化为乘法运算.,n (n-1) (n-2) 2 1,分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.,倒序相加法,一般的，我们称 为数列an的前n项和，记作Sn，即,数列的前n项和,那么，对一般的等差数列，如何求它的 前n项和呢？,已知等差数列an的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .,如何才能将等式的右边化简？,自主探究,等差数列的前n项和公式,可知三求一 （a1, an, n, Sn ）,可知三求一 （a1, n, d, Sn ）,例1 根据下列各题中的条件

3、，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50,500,2550,例题讲解,解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10.,故，该市在未来10年内的总投入为：,答,例题讲解,例2 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元

4、。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,例3 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以求其前n项和的公式吗？,解：由于S10310，S201220，将它们代入公式,可得,所以,例题讲解,分析：方程思想和前n项和公式相结合,另解：,两式相减得,例3 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,例题讲解,例4 已知数列an的前n项和为,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是什么?,例题讲解,解：根据 与,1等差数列前n项和的公式； 推导方法：倒序相加法 在等差数列an中，如果已知 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其余两个量。,课堂小结,2an与Sn的关系：,由Sn求an时，需要注意这样的a