二次函数中存在、探究问题.ppt

1、第二部分 热点题型攻略,题型五 二次函数中存在、探究问题,类型一 特殊三角形的存在、探究问题,典例精讲,例(13铜仁)如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合). (1)求抛物线的解析式； (2)求ABC的面积；,(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.,例题图,（1）【思路分析】根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式.,解：直线y=3x-3分别交x轴、y轴

2、于A、B两点， 可得A（1，0），B（0，-3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得： 1+b+c=0 b=2 c=-3， c=-3， 抛物线解析式为y=x2+2x-3；,解得：,（2）【思路分析】由（1）求得的抛物线解析式，可求得点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形面积公式即可计算. 解：令y=0得：0=x2+2x-3， 解得：x1=1，x2=-3， 则C点坐标为：（-3，0）， AC=4， 故可得SABC = ACOB= 43=6；,（3）【思路分析】根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(-1,m)，分三种情况讨论：MA=BA,MB=BA，MB=MA，求出m的值后

3、即可得出答案.,解：存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意，分三种情况讨论： 当MA=AB时， ,解得：m=6，M1（-1，6），M2（-1，-6）； 当MB=BA时， ,解得：m=0或m=-6，M3（-1，0），M4（-1，-6）(不合题意舍去);,当MA=MB时， ， 解得：m=-1， M5（-1，-1）. 答：共存在四个点M1（-1，6）、M2（-1，-6）、M3（-1，0）、M5（-1，-1）使ABM为等腰三角形.,1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；

4、（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；,（3）设未知量，求边长在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为 （ ，y)），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长； （4）计算求解根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系求解即可.,探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.,二次函数压轴题

5、 等腰三角形问题,二次函数压轴题 直角三角形问题,2.探究直角三角形的存在、探究问题时,具体方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90；,（3）设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为 （ ，y)），利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解.,类型二 特殊四边形的存在、探究问题,典例精讲,例1(14济宁)如图，抛物线y=

6、 x2+bx+c与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；,（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.,例1题图,（1）【思路分析】将A、B两点坐标代入抛物线解析式中得到方程组，然后求解方程组即可. 解：y= x2+bx+c与x轴交于A（5,0）、 B（-1,0）两点， 0= 52+5b+c b=-1 0= -b+c,

7、 c=- ， 抛物线的解析式为y x2-x- ；,解得,(2) 【思路分析】求点A的坐标，需过点A作AEx轴于点E，再求AE和OE的长，可以通过AEA和OAC相似，求出AE和AE，得出点A的坐标.,例1题解图,P,M,D,E,解：过点A作AEx轴于点E，AA与OC交于点D， 点C在直线y=2x上，点C（5，10）， 点A和A关于直线y=2x对称， OCAA，ADAD. OA=5,AC=10, OC= . SOAC= OCAD OAAC， AD=2 , AA4 ，,在RtAEA和RtOAC中， AAE+AAC=90，ACO+AAC90,AAE=ACO. 又AEA=OAC=90，RtAEARtOA

8、C, ,即 , AE=4,AE=8,OE=AEOA=8-5=3, 点A的坐标为（-3,4）, 当x=-3时，y (-3)2+3- =4, 点A在该抛物线上;,(3) 【思路分析】点M在线段CA上，设出直线CA的解析式，代入点A、点C坐标可得解析式，点P在抛物线上可设点P（x， x2-x- ），则M（x， x+ ），点M在点P上方，可求MP，再由MPAC求出合适的x的值，则可得P点坐标.,解：存在.理由：设直线CA的解析式为y=kx+b,代入点A(-3,4)和C(5，10)， 则 -3k+b=4 k= 5k+b=10, b= ， 直线CA的解析式为y= x+ . 设点P的坐标为(x, x2-x-

9、 )， 则点M为(x, x+ ). PMAC， 要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.,解得,又点M在点P的上方， （ x+ ）-( x2-x- )10. 解得x1=2，x25（不合题意,舍去）， 把x=2代入抛物线解析式得，y- ， 当点P运动到（2，- ）时，四边形PACM是平行四边形.,平行四边形的存在、探究问题，具体方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）设出点坐标，求边长直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（- ，

10、y)，若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；,（3）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形四点位置不确定，需分情况讨论： 当已知边为平行四边形的某条边时，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等进行计算；当已知边为平行边形的对角线时，画出所有符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算.,二次函数压轴题平 行四边形问题,例2（13郴州）如图，在四边形AOCB中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO

11、=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为A，且经过点C点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QDOC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E. （1）求抛物线的解析式； （2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE是菱形？,（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PBOD？,例2题图,（1）【思路分析】根据顶点式将A、C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式； 解：A(0,2)为抛物线的顶点， 设y=ax2+2, 点C（3,0）在抛物线上， 9a+2

12、=0,解得：a=- , 抛物线的解析式为:y=- x2+2;,（2）【思路分析】利用菱形的性质得出AO与EE互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；,解：如果四边形OEAE是菱形，则AO与EE互相垂直平分， EE经过AO的中点， 点E纵坐标为1,代入抛物线解析式得： 1=- x2+2,解得：x= , 点E在第一象限， 点E为（ ，1），,设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2）， C（3，0），代入得： k+b=2 k=-1 3k+b=0, b=3, BC的解析式为:y=-x+3, 设OE解析式为y=nx

13、,将E点代入y=nx,可得出EO的解析式为y= x, 由 y= x x= y=-x+3, y= ,解得：,得：,Q点坐标为：（ ，0）， 当Q点坐标为（ ,0），四边形OEAE是菱形；,例2题解图,H,（3）【思路分析】首先得出APBQDO，进而得出APDQ=ABQO，求出m的值，进而得出答案 解：设t为m秒时，PBDO，又QDy轴， 则有APB=AOEODQ， 又点D在直线y=-x+3上，OQ=3-3m, DQ3m, 因此： ， 解得：m= , 经检验：m= 是原分式方程的解， 当t= 秒时，PBOD.,【解法提示】作BHOC于H，则BH=AO=2，OH=AB1，HC=OC-OH=2, BH

14、=HC, BCH=CBH45， 易知DQ=CQ，,设t为m秒时PBOE，则ABPQOD, APDQ=ABQO，易证AP=2m, DQCQ3m,QO=3-3m, , 解得m= ,经检验m= 是方程的解， 当t为 秒时，PBOD.,对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究菱形、矩形、正方形来设题，解题方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）设出点坐标，求边长（同上面例1的方法） （3）若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位置不确定，需分情况讨论：,探究菱形的存在、探究问题时分两类：已知三个定点去求

15、未知点坐标；已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式； 探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解. 探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解,二次函数压轴题 菱形问题,二次函数压轴题 矩形问题,二次函数压轴题正方形问题,类型三 三角形相似的存在、探究问题,典例精讲,例（12常德）如图，已知二次函数 y (x+2)(ax+b)的图象过点A（-4，3）， B（4，4） （1）求二次函数的解析式; （2）求证：ACB是直角三

16、角形；,（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.,例题图,（1）【思路分析】将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式. 解：由题意得，函数图象经过点A（-4,3）,B(4,4), 3= (-4+2)(-4a+b) 4= (4+2)(4a+b), a=13 b=-20, 故二次函数关系式为:y= (x+2)(13x-20);,故可得：,解得：,（2）【思路分析】根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股

17、定理的逆定理证明即可； 证明：由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（-2，0），点D坐标为( ,0), 又点A（-4,3）,B(4,4), AB= , AC= , BC= , AB2=AC2+BC2, ACB是直角三角形；,（3）【思路分析】分两种情况进行讨论：DHPBCA，PHDBCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标. 解：存在点P的坐标，点P的坐标为 （- ， ）或（- ， ）. 设点P坐标为(x, (x+2)(13x-20), 则PH （x+2）(13x-20), HD=-x+ ,若DHPBCA,则 ， 即 ， 解得：x=- 或x= (因为点P在第二象限，故舍去)

18、，代入可得PH ， 即P1(- ， )；,若PHDBCA,则 ， 即 ， 解得x=- 或x= (舍去)， 代入可得PH= ，即P2坐标为：（- ， ）. 综上所述，满足条件的点P有两个， 即P1（- ， ）、P2(- ， ）.,三角形相似的存在、探究问题，具体方法如下： （1）探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目），或者涉及到动点问题，因动点问题中点位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；,（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分

19、类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应分类讨论； （3）建立关系式，并计算由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标.,类型四 面积关系的存在、探究问题,典例精讲,例（14永州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F,（1

20、）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当SMFQSMEB=13时，求点M的坐标.,例题图,（1）【思路分析】把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；,解：抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2， a=- b= ， y=- x2+ x+2， c=2， y=- x2+ x+2=- (x- )2+ ， 顶点坐标为（ ， ）.,解得,例题解图,（2） 【思路分析】根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线B

21、M的解析式为y=kx+b（k0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出MFQ和MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可.,解：M（m，n），且M、E关于抛物线的对称轴x= 对称， Q（0，n），E（3-m，n），设直线BM的解析式为y=kx+b（k0）， 把B（4，0），M（m，n）代入得 4k+b=0 k= mk+b=n， b= ， y= x+ ，令x=0，则y= ， 点F的坐标为（0， ），,解得,MQ=|m|，FQ=| |=| |， ME=|3-m-m|=

22、|3-2m|， SMFQ= MQFQ= |m| |= | |， SMEB= ME|n|= |3-2m|n|， SMFQSMEB=13， | |3 |3-2m|n|， 即| |=|3-2m|，,点M（m，n）在对称轴左侧，m ， =3-2m， 整理得m2+11m12=0，解得m1=1，m2=-12, 当m1=1时，n1=- 12 + 1+2=3， 当m2=-12时，n2 =- (-12)2+ (-12)+2=-88， 点M的坐标为（1，3）或（-12，-88）.,图形面积数量关系的存在、探究问题,解题方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；,（

23、2）设出点坐标，求边长根据题意，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为 （- ，y)，若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；,（3）列等量关系求解.观察所求的两个图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式分别求出面积；若所求的两个图形的面积不能直接利用面积公式求出时，可将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，分别计算出每个图形的面积，再进行和差计算

24、求解；根据题干中所给关系式，建立方程，求出点坐标即可.,（4）根据所求点的不确定性和函数图象的性质，对（3）中求出的结果分情况讨论，当点在x轴左边和y轴下方时，x，y分别取负值求解；当点在x轴右边和y轴上方时，x、y分别取正值求解.,二次函数压轴题三 角形面积问题,类型五 最值的存在、探究问题,典例精讲,例（14郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点. （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；,（3）如图，设线段AC的垂直平分线交x轴于点

25、E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由,例题图,（1）【思路分析】利用待定系数法即可求得； 解： 0=a-b+c 0=4a+2b+c, 2=c 解得a=-1,b=1,c=2, 抛物线解析式为：y=-x2+x+2；,由题意得,（2）【思路分析】如解图，四边形ABPC由ACO和PCO及PBO组成，ACO面积固定，则只需要使得PCO与PBO的面积和最大即可求出PCO与PBO面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；,解：设P(x,-x2+x+2),四边形ABPC的面积是S，如解图，过P作PMx轴于点M，过P

26、作PDx轴于点D，连接PO，由题意得 S=SACO+SPCO+SPBO, 又SACO= AOCO=1, SPCO COPD=x, SPBO= PMOB=-x2+x+2, S=1+x-x2+x+2=-x2+2x+3.,S开口向下，x=1时，y=-x2+2x+3=-1+2+3=4, S最大值为4， 故P运动到点(1，2)时，四边形ABPC的面积最大;,例题解图,M,D,（3）【思路分析】如解图，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称连接AM，与DE交于点G，此时CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标.,例题解图,解：存在. y=-x2+x+2,M( , ), 设线段AM的表达式为y=kx+b，由题意得 k+b 0=-k+b, 解得k= ，b= ,即y= x+ , C与A关于直线 DE对称， 设AM与DE交于G，CM+CG+MG的长最小.,过G作GFAB于点F，过M作MPx轴于P，设