第三章 光纤模式理论.ppt

1、,第三章 光纤模式理论Mode Theory for Optical Fibers,主要内容,阶跃折射率光纤中的场模式 弱导光纤中的线偏振模 光波导中模式的普遍性质 波导横向非均匀性的微扰法处理 纵向非均匀性与模式耦合方程,直角坐标（x,y,z）,柱坐标（r,z）,基矢,坐标系,波动光学 光波导理论逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,波动方程,场的解,边界条件,特征方程,场的解,传输常数,一.阶跃折射率光纤中的场模式,光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程 纵向均匀光波导中场的纵横关系 Bessel方程及其解 阶跃光纤中矢量模的场分布 矢量模的特征方程、模式分类与命名规则 矢量模的特性曲线 模

2、式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件 矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布,结构,阶跃型光纤折射率剖面,Step index,j=1, 2 芯层，包层 （r,z）为柱坐标系,波动方程(柱坐标),Helmholtz,把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开,柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量。,横场,纵场,纵横关系,纵向均匀、无损、z向传输,对称性的波动方程,光纤的圆对称性,电磁场沿方向为驻波解,对称性的波动

3、方程,光纤的圆对称性,电磁场沿方向为驻波解,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,Bessel方程的解,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,贝塞尔方程的解,Nm(0)=,Im( )=,芯层,包层,Bessel函数,虚宗量Bessel函数,Neumann函数,虚宗量Neumann函数,贝塞尔函数性质,J函数,贝塞尔函数性质,N函数,贝塞尔函数性质,I函数,贝塞尔函数性质,K函数,贝塞尔函数递推关系(了解，会用),电磁场的纵向分量,电磁场的横向分量由“纵横关系式”得到,返回

4、,导模条件,泄漏模和辐射模,横向约束,横向辐射,传输常数 ,方向分量连续 E |r=a H |r=a,特征方程,光纤中电磁场模式的特征方程 由横向电场和磁场的边界条件得到,不同的模式,m = 0,E0=0, Ez=0, TE模,H0=0, Hz=0, TM模,TE模,TM模,混合模,特征方程,HE模：,EH模：,m反映了模场分布随方位角变化情况，n为特征方程根的序号,-V特性曲线,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,TE模,TM模,特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,Vc 不为 0 !,TE0n,TM0n的截止频率,最小值TE01,TM01

5、,EHmn的截止频率,特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,最小值EH11,HE1n的截止频率,特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,最小值HE11,!,HEmn的截止频率(m1),特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件,单模条件：,-V特性曲线,矢量模特性曲线,1.每一条曲线代表一个模式 2.当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。 3.V越大，光纤中支持的导模数量越多。 4.单模传输条件,矢量模的横向场分布,横向场分量,横向场分布,功率密度分布,电力

6、线方程,横向场分布,电力线与磁力线,（实线：电力线，虚线：磁力线）,矢量模的横向光功率密度,低阶模横向光功率密度/光强分布,TM01,TE01,HE21,TM01,TE01,HE21,TE01,HE21,TM01,TE01,HE21,HE11,HE11,HE21,二、弱导光纤中的线偏振模,弱导光纤中存在线偏振 (LP) 模的可能性 阶跃折射率光纤的标量近似解法 LP模的场分布与特征方程 LP模的构造 LP模的截止特性与特性曲线 光纤的功率限制因子 导模、辐射模与泄漏模,纵向场分量,横向场分量,横向分量大，纵向分量小：,矢量法的困难,横向分量形式复杂 除HE11模外，各传导模式的横向场分量在光纤

7、横截面上 具有非常复杂的偏振特性，分析起来困难。,相对折射率差,弱导近似,弱导近似： 0， n1 n2,光纤芯子和包层的折射率非常接近，对光波导的分析会大为简化，这种光纤称为弱导光纤。,弱导光纤的特点（1）,光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（TEM波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变。 在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模LP（Linearly Polarized Mode),弱导光纤的特点（2）,弱导光纤中，磁场的横向分量可以由电场的横向分量运算得出。,线偏振模横场,对于弱导光纤，可以通过适当选择坐标系，使得,满足Helmholtz方

8、程：,线偏振模横场,Ey, Hx,线偏振模纵场,纵横关系,纵向分量与特征方程,切向分量连续 z分量,特征方程,二式等价 LPmn模,矢量模特征方程的弱导近似,弱导近似,EHmn，TE0n，TM0n,HEmn,非弱导形式,非弱导形式,矢量模在弱导近似下的特征方程,LPmn模,m m-1 EHm-1,n,m m+1 HEm+1,n,HEmn模,TE0n, TM0n,m =1,LP1n,HE2n,m = 0,HE1n,LP0n,m 1,矢量模与标量模的对应关系,EHmn(m0) ,TE0n，TM0n (m=0)模,标量模 = 矢量模的迭加,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,弱导

9、光纤中模式的简并性,在 n1 n2 的弱导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。,场的迭加,截止特性,W 0,截止特性,LP0n模,LPmn模,单模条件,LP01模的归一化截止频率为10， 10 = 0，不截止！,LP11模的归一化截止频率为01， 01 = 2.4048,V 2.4048,只有LP01模传输基模,单模条件,矢量模结论,b：归一化传输常数,接近截止时，W 0，b 0 远离截止时，U 0，b 1,光纤结构+工作波长 V bV

10、,归一化传输常数,bV曲线,bV曲线,bV曲线与-V曲线,-V曲线,bV曲线,光纤中的功率流,纵向功率流密度Sz,芯层,包层,功率限制因子,光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比,反映光纤的导光能力或对光的约束能力,功率限制因子,定义,V特性曲线,辐射模和泄漏模,截止条件下，离散的、复数，非正常波形。,传导模,离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件。,辐射模,连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射 不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。,泄漏模,波动光学 光波导理论逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,边界条件,场的解,复习,复习,光纤模式理论,矢量法,标量法,1. 严格

11、解法,近似解法 前提：弱导近似n1 = n2,横向分量大，纵向分量小：,TEM波，均匀平面波,矢量法,标量法,复习,2. 解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性,易于分析，结果简单,Helmholtz方程,矢量法,标量法,复习,4.,Ez, Hz,Et=eyEy Ht =exHx,矢量法,标量法,复习,5.,矢量法特征方程,复习,6.,方向分量连续 E |r=a H |r=a,特征方程,标量法特征方程,切向分量连续 z分量,特征方程,二式等价,复习,矢量法模式分类,复习,TE0n模：E0=0, m=0,TM0n模: H0=0, m=0,HEmn模：,标量法模式构造,复习,标量模 = 矢量模的迭加

12、,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,复习,矢量模的截止特性,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件：,复习,-V特性曲线,复习,基模： HE11,W 0,截止特性,标量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,V 2.4048,单模条件,复习,bV曲线,bV曲线,只有LP01模传输基模,复习,b：归一化传输常数,三、光波导中模式的普遍性质,模式的完备性及其物理含义 模式的正交性及其物理含义 2 的稳定性及其含义,模式的完备性和光场展开,任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的

13、各导模和辐射模的迭加,完备性,光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 而且模式之间互相独立，正交！,光场展开,模式的完备性和光场展开,n不同模式,P=+,- 正反向传输的模式,辐射模在其连续谱上的积分,各模式的激发系数,(m, q）&（n, p）,正交性,m,n 模式序号 q,p 模式传播方向（+，-）,正交性,任意纵向均匀无损光波导,积分遍及整个波导横截面,结论：不同模式之间彼此正交。 导模与辐射模之间、辐射模之间均正交,正交性,任意纵向均匀无损光波导,结论：正反向传输的同一模式之间也彼此正交。,模式的正交性表明：,在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的。,各模式之间不发生能量的交换和耦

14、合。,沿正反方向传输的同一个模式也如此！,LP模的正交性,任意模式正交性的证明,纵向均匀的任意两个模式：（m, q）&（n, p）,Maxwell方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,S的边界,l的外法线方向,S足够大边界上的电磁场可忽略,m n或 pq,0,m = n且p = q,(n,p)功率的4倍,任意模式正交性的证明,LP模正交性的证明,标量波动方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,m n或 pq,0,m = n且p = q,(n,p)功率的2倍,任意两个线偏振模,2,弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程,波导横截面S积分 二维散度定理,0,模式传输常数的平方可以

15、由相应的模式场分布得到,2的稳定性,二维散度定理,0,结论： 对于场分布的微小变化， 2是稳定的,2的稳定性,四、波导横向非均匀性的微扰法处理,微扰法的基本思想 光波导问题的一阶微扰近似,横向非均匀性,横向折射率非均匀分布,波导界面不规则,微扰法统一处理,寻找一个波导结构 与横向非均匀波导结构相近， 模场解已知， 用已知解近似描述难解之解！,微扰法,两个相近的弱导波导结构：,1、可解,2、不可解,折射率分布,模场分布,传输常数,折射率分布,模场分布,传输常数,只有微小差异,微扰展开,模式的完备性,严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分,？,*,横截面上积分,？,m = n,正交性,一阶微扰

16、近似,一阶微扰近似,差异甚小，一阶近似即可！,必要时，需要高阶微扰处理！,一阶微扰解,五、波导纵向非均匀性与模式耦合,纵向非均匀问题 耦合模方程,缓慢变化,纵向非均匀性,光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不完善；,理想波导均匀,实际波导不均匀,折射率分布,模场分布,传输常数,差异甚微,缓变函数,模式的完备性,缓变函数,乘,横截面积分,模式正交性,模式展开,耦合方程,耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数,模式耦合方程！,纵向非均匀性引起了各传导模式之间的耦合。 模式耦合： 非正规光波导，由于存在纵向非均匀性，因此无 严格的模式存在。但是，仍可以找到某一个正规光 波导，使得非正规光

17、波导内的场可以展开为该正规 光波导的一系列模式之和。光在光波导中传输的 总功率不变，但是随着模式在波导内的传输，各模 式交换携带的能量，这种现象称为模式耦合。,关于波导纵向非均匀性的几点说明,习题,Page 49. 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7,复习,光纤模式理论,矢量法,标量法,1. 严格解法,近似解法 前提：弱导近似n1 = n2,横向分量大，纵向分量小：,TEM波，均匀平面波,矢量法,标量法,复习,2. 解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性,易于分析，结果简单,Helmholtz方程,矢量法,标量法,复习,4.,Ez, Hz,Et=eyEy Ht =exHx,矢量法,标量法,复

18、习,5.,矢量法特征方程,复习,6.,方向分量连续 E |r=a H |r=a,特征方程,标量法特征方程,切向分量连续 z分量,特征方程,二式等价,复习,矢量法模式分类,复习,TE0n模：E0=0, m=0,TM0n模: H0=0, m=0,HEmn模：,标量法模式构造,复习,标量模 = 矢量模的迭加,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,复习,矢量模的截止特性,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件：,复习,-V特性曲线,复习,基模： HE11,W 0,截止特性,标量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归

19、一化频率,V 2.4048,单模条件,复习,bV曲线,bV曲线,只有LP01模传输基模,复习,b：归一化传输常数,模式的完备性和光场展开,任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加,完备性,光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 而且模式之间互相独立，正交！,展开,n不同模式,P=+,- 正反向传输的模式,辐射模在其连续谱上的积分,各模式的激发系数,三、光波导中模式的普遍性质,正交性,任意纵向均匀无损光波导,积分遍及整个波导横截面,导模与辐射模之间、辐射模之间均正交,(m, q）&（n, p）,N个导模沿正向传输，波导中总的传输功率 = Poynting矢量纵向分量在横截面内的积分,传输功率,模式的正交性表明： 在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的 各模式之间不发生能量的交换和耦合， 沿正反方向传输的同一个模式也如此！,LP模的正交性,任意模式正交性的证明,纵向均匀的任意两个模式：（m, q）&（n, p）,Maxwell方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,S的边界,l的外法线方向,S足够大边界上的电磁场可忽略,m n或 pq,0,m = n且p = q,(n