2.6 矩阵的逆及其求法ppt课件.ppt

1、一、逆矩阵的概念,二、方阵可逆的判别定理,第六节,矩阵逆及其求法,第二章,三、逆矩阵的基本性质,四、用矩阵的初等变换求逆矩阵,1,设,n 元线性方程组,线性方程组的矩阵表示法,（2）,2,则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，,而后者即求,中未知矩阵X的问题。,这需要用到,逆矩阵的问题。,代数方程,的解,问矩阵方程,的解是否为,?,若可以，那么,的含义是什么呢？,3,定义1,设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使,AB = BA = E .,则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作,又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 .,例,设,因为 AB = BA = E .,

2、所以 B 是 A 的一个逆矩阵。,一、逆矩阵的概念,4,若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .,证明,设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义,有 AB = BA = E，AC = CA = E，,B = BE,= B( AC ),= ( BA )C,= EC = C .,所以逆矩阵唯一.,单位矩阵的逆为其本身。,对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）,5,方阵的可逆满足性质：,(3) A、B 均是同阶可逆阵，则,(3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1,= E.,(4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E,证明 只证 (3) 和

3、 (4) .,6,矩阵可逆的条件：,设 矩阵,中元素 aij 的代数余子式 Aij ，,定义,称为 A 的伴随矩阵.,7,例 2.16,求二阶方阵,的伴随矩阵.,解,所以,8,定理2.1,证明：,由第一章行列式展开定理及其推论知,类似有,9,定理2. 2矩阵 A 可逆充分必要条件是,且当,时，,证明：,必要性,设 A 可逆，,于是有,两边取行列式有，,因此,充分性,设,由定理 2.1 知,故有,10,由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为,定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法，,还给出了求解逆矩阵的一种方法 .,A可逆,A是非奇异矩阵,A是满秩矩阵,11,逆矩阵的求法一：伴随矩阵法,例 2.

4、15,设,判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .,解,因为,故 A 可逆，,且,12,推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆.,证明,因为,故,于是 A、B 均可逆 .,13,例 2.17,求解线性方程组,解,方法一 ( Cramer 法则 ),由于,于是有,14,方法二 ( 逆阵法 ),因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中,由于,故 A 可逆，,因此,其中,15,于是,16,利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量,个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式,法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将,在余下的章节讨论第三种方法 .,

5、17,例 2.18,设,求 A + B .,解,由于 AB = A + B ，于是,( A E ) B = A ,又,于是,而,18,所以,故,19,例 2.19,设 A 为 3 阶矩阵，且,求,解,由于,于是,20,解：,例6,21,二、逆矩阵求解方法二初等变换法,初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了,充分发挥其作用，,有必要对它进一步探讨。,定理3,A可逆,22,例7 求下列矩阵的逆矩阵,解 ：,23,24,解 2,不存在。,25,设A、B为n 阶方阵，且A可逆，则,（A|B）,(E|A-1B),定理3,26,例8 求解下列矩阵方程,解,27,设,，,，,，,例10,求 X 。,解,，,，,，,，,，,28,，,，,29,例12,已知,求,解,30,例13,31,例14,并求其逆。,解,可逆，,且,(1),(2),32,=,，,，,则,设A,B分别是m阶, n阶可逆矩阵，,，求,解,，D可逆，设,。,例15,33,关于分块对角矩阵有下列运算性质：,4、,5、,可逆时，,则A可逆，且,34,定理4：,方阵A可逆的充分必要条件是它能表示,成一些初等矩阵的乘积：,定理5,则以下三个条件等价,（1） A与B等价；,(3) 存在 m