八年级数学上册 第十六章《16.1 平行四边形》教案2 华东师大版

1、第十六章16.1 平行四边形【同步教育信息】一. 本周教学内容： 平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目 学习要求： 1. 理解平行四边形的性质，掌握平行四边形的识别方法。 2. 理解特殊平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形的识别方法。 3. 学会一些证明题目的证明方法，从中体会逻辑推理的方法。二. 重点、难点： 学习重点： 1. 平行四边形的性质及识别方法。 2. 特殊平行四边形的性质及识别方法。 学习难点： 逻辑推理的方法。【学习内容】一. 关于平行四边形性质及识别的典型题目： 例1. 如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD的和为28，CD5。 （1）求COD的周长。 （2）AOB

2、、BOC、COD、DOA的面积相等吗？为什么？若平行四边形ABCD的面积是56，则AOB的面积等于多少？ （3）ACD与BCD的面积相等吗？为什么？图1 解：（1）由于在平行四边形ABCD中，AOOC，BOOD，且ACBD28 所以COOD14 又因为CD5 所以，COD的周长为19。 （2）AOB、BOC、COD、DOA的面积相等。其理由是： 平行四边形ABCD中，BOOD，且AOB与AOD中边OB、OD上的高相同，都是AE（过A作AEBD，点E是垂足）所以 亦即AOB的面积为14 例2. 如图2，在ABC中，BD平分ABC，DE/BC，EF/AC，说明线段BE与CF相等。图2 解：因DE/

3、BC知23 又BD平分ABC，可知12 故13 得DEEB 而DE/BC，EF/AC知四边形DECF是平行四边形 有DECF 故可知EBCF 例3. 如图3，已知E、F分别为平行四边形ABCD的边CD、AB上的一点，AE/CF，BE、DF分别交CF、AE于H、G，试说明EGFH。图3 解：因为AE/CF，AF/CE 所以四边形AECF是平行四边形 所以AFCE 又因为ABCD 所以BFDE 所以四边形BFDE是平行四边形 所以EGFH 说明：EGFH，从位置上看只要说明四边形EGFH是平行四边形即可。由于EG/FH，而EGFH是要说明的结果，所以首选的方法是DF/BE，故要说明相等的线段是四边

4、形的一组对边时，常常先说明这个四边形是平行四边形。 例4. 如图4，在平行四边形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，使BEDF，说明AC与EF互相平分。图4 解：可连接AF、CE 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB/CD，ABCD 又因为BEDF 所以ABBECDDF 即有AECF 所以四边形AECF是平行四边形，AC与EF互相平分。 说明：要说明两条线段互相平分，只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形即可。 例5. 如图5，在ABC中，ABAC，点D在BC上，DE/AC交AB于E，DF/AB交AC于F，说明DEDFAB。图5 解：在ABC中，DF/AB，故而FDCB 又AB

5、AC知CB 有CFDC 有DFFC 有DEAF 故DEDFAFFCACAB 例6. 如图6，在ABC中，D、E分别是其AB、AC的中点，说明： 图6 解：（1）先延长DE至F，使得DEEF 故在四边形ADCF中，AEEC，DEEF 四边形AFCD是平行四边形 CF/AD，即CF/AB，CF/DB 而CFAD，ADDB 有CFDB 知四边形DBCF是平行四边形 有DF/BC，即DE/BC 说明：（1）此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下，尽可能构造出两组线段互相平分，得到平行四边形，用平行四边形的知识作桥梁，将条件转化，得到结论。 （2）此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质：

6、中位线：连接中点的连线段。 性质：中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。二. 关于特殊平行四边形的一些典型题目： 例7. 如图7，在矩形ABCD中，E在BC上，AEAD，DFAE于F，说明CEFE。图7 解：连结DE 因为四边形ABCD是矩形，所以 ADC90，CDEADE90 因为DFAE 所以EDFAED90 因为AEAD ADEAED 故CDEEDF（等角的余角相等） 因为DFAE，CDBC 所以CEFE（角平分线上的点到角两边距离相等） 注意：这里DFAE，CDBC，要说明ECEF，只要说明DE是CDF的平分线即可。 即要说明两条线段相等，只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点

7、到角的两边的距离即可。 例8. 如图8，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE15，求BOE的度数。图8 解：因为四边形ABCD是矩形，所以BAD90，ABC90 因为AE平分BAD 所以BAE45AEB 所以ABBE 因为CAE15 所以OAB60 因为OAOB 故OBA60，OBAB 所以OBE30，OBBE 所以BEOBOE75 说明：由此题的过程知道：矩形的对角线将其分成四个面积相等的等腰三角形。 例9. 如图9，在菱形ABCD中，AEBC于点E，BECE，求菱形的各内角的度数。图9 解：连结AC 由题意BEEC，B、E、C在一直线且AEBC 故可知AB

8、E与ACE关于轴AE成轴对称图形 可知ABAC 而四边形ABCD是菱形，可知ABBC 于是ABACBC ABC是等边三角形 B60 故D60，BADBCD120 例10. 如图10，在正方形ABCD中，E是BD上一点，EFBC，EGCD，垂足为F、G，试说明AE与GF的关系，为什么？图10 解：延长GE与AB交于H 由EGDC知EHAB 而BD是正方形ABCD的对角线，故EBF45 又EFBC知BEF45，故EFBF 在四边形HBFE中，EHHB，ABF90，EFBF，EFBF 知四边形HBFE是正方形 有HEEF，HBBF且HF与BE相互垂直平分 而在正方形ABCD中，AC与BD相互垂直平分

9、 故可将A、C看作关于BD的一组对称点 H、F看作关于BD的一组对称点 故AHE与EFC关于轴BD对称 AEEC 在矩形EFCG中，GF、EC为对角线ECGF AEGF 例11. 如图11，在梯形ABCD中，CD/AB，BADABC90，M、N分别为AB、CD的中点。图11 证明：过点N作NE/DA交AB于E，NF/CB交AB于点F 则NEMBAD，NFMABC 所以NEFNFE90，所以FNE90 又四边形ADNE、CNFB是平行四边形 所以AEDN，BFCN 又AMBM 所以MEMF 本课小结： 1. 在理解平行四边形性质及识别方法的基础上，着重落实用其性质及其识别方法进行逻辑推理。 2.

10、 在理解特殊四边形及其识别方法的基础上，着重应用其特性进行推理，另外，在进行识别特殊四边形时，多用其基本识别方法。 3. 在推理的过程中，注意推理的逻辑性与连贯性。【模拟试题】 1. 已知：如图12，点D是AB的中点，点E是AC上的一点，EF/AB，DF/BE，猜想DF与AE之间关系并说明理由。图12 2. 如图13，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，作DE/AC，CE/BD，DE与CE交于点E，试说明四边形OCED是菱形。图13 3. 如图14在平行四边形ABCD中各个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，猜想EG和FH之间的关系。图14 4. 如图15，等腰梯形ABCD中，AD/B

11、C，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长。图15 5. 如图16，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN/BC，设MN交BCA的平分线于点E，交ABC的外角ACD平分线于点F。 （1）试说明线段OEOF。 （2）试猜想：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由。图16【试题答案】 1. 解：在四边形DFEB中，DF/BE，DB/EF 故四边形DBEF是平行四边形 有EFDB 又D是AB之中点，故ADDB 由此可知EFAD 而EF/AD 故四边形AFED是平行四边形 AE与DF互相平分 2. 解：在四边形OCED中，DE/OC，CE/OD 故四边形ODCE是平行四边形 而四边形ABCD是矩形 3. 解：在平行四边形ABCD中，AD/BC，故BADABC180 而BF平分ABC，AH平分BAD 故四边形EFHG是矩形，EG和FH是相等且互相平分的关系 4. 解：过点D作DF/AC交BC的延长线于F 而