3-1线代数.ppt

1、3.1 n维向量,在这一章我们研究线性方程组,引言,一、向量的概念,3.1 n维向量,注,2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,3. 行(列)向量都按照矩阵的运算法则进行 运算;,4. 当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,表示行向量。,3.1 n维向量,例 线性方程组,称 为方程组,系数矩阵的列向量组.,3.1 n维向量,如果 是方程组(1)的解，,称 为方程组(1)的解向量.,1.称 为n维零向量,记作 ;,注,3.1 n维向量,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,3.1 n维向量,二、向量的线性运算,在第二章中我们已介绍过,所谓n维向量

2、实际上就是1n或n1特殊的矩阵,因此,向量的线性运算就是矩阵的线性运算.,3.1 n维向量,向量的线性运算的运算规律：,是 维向量，k，l是常数，则：,3.1 n维向量,三、向量间的线性关系 (1) 线性组合,定义3.2 设n维向量组1，2，m，如果存在一组数k1，k2，km，使得：,3.1 n维向量,例2 零向量是任何向量组的线性组合。,例3 n维向量组 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, n=(0,1,0)T,3.1 n维向量,方程组(1)有解 可以由 1,2,n线性表示.,3.1 n维向量,(2) 线性相关、线性无关,则称 线性相关；否则称,线性无关,定义3.3 设n维向量组

3、1，2，m，如果存在一组数不全为零的数k1，k2，km，使得：,注,2. 对任一向量组，它不是线性相关就是线性无关.,3.1 n维向量,例5 包含零向量的任何向量组是线性相关的。,线性无关。,例7 考察向量组只包含一个向量的线性关系。,例6 n维基本单位向量组 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, n=(0,0,1)T,例8,3.1 n维向量,齐次线性方程组,若 线性相关(2)有非零解，,若 线性无关(2)只有零解。,线性相关性与齐次线性方程组,(2),3.1 n维向量,四、向量间线性关系的性质,定理3.1 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量

4、线性表示,定理3.2 若向量组1，2，m中的一个部分组线性相关，则1，2，m也线性相关。 即：部分相关，整体必相关。,推论 若向量组1，2，m线性无关，则1,2,m中的任意一个部分组也线性无关。 即：整体无关，部分必无关。,3.1 n维向量,定理3.3 （添加分量定理） 设r维向量组i=(ai1,ai2,air)T (i=1,2,s) ， 在每个向量i (i=1,2,s) 的后面添加(n-r)个分量后，得到一个n维向量组: i= (ai1,ai2,air,air+1,ain)T (i=1,2,s) ， 则有:（1）如果1，2，s线性无关， 那么1，2，s 也线性无关；,（2）如果1，2，s线性

5、相关， 那么1，2，s也线性相关。 （证明略）,3.1 n维向量,定理3.4,3.1 n维向量,定理3.5 n个n维向量 i=(ai1,ai2,ain)T (i=1,2,n) ， 线性相关的充分必要条件是行列式,推论 n个n维向量1，2，n线性无关以1,2,n构成的n阶行列式D0.,3.1 n维向量,五、向量组线性关系的判断,写成分量的形式：,问题归结到判定方程组(2)是否有非零解。,3.1 n维向量,（1）若 ，当 (2)的系数行列式,3.1 n维向量,若 ,考虑方程组(2)的系数行列式D,通过上述的分析，我们有如下的结论,3.1 n维向量,例9. 如果向量组1，2，s线性无关， 1= 1， 2= 1+2， ，s= 1+2+s， 则向量组1，2， ，s也线性无关。,例