数学人教版八年级上册13.4-最短路径问题.ppt

1、义务教育 人教版 八年级（上） 13.4 课题学习 最短路径问题,重庆市潼南区古溪初级中学校 蒋天浩,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,AD+DE+EF+FBAB,AC+CBAB,或者：ABC中，AC+BCAB,三角形中，两边之和大于第三边,一、复习引入,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.,如图所示，从A地到直线l上B、C、D三个位置，你认为哪条路最短？你的理由是什么？,ACAB,ADAB,学习目标,知识与能力： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上某点距离之和最小值时，这点的位置。 2.运用轴对称、平

2、移解决生活中路径最短问题。 过程与方法： 让学生经历探索过程，体会运用转化，建模思想研究数学问题，培养学生分析问题解决问题的能力。 重点： 将实际问题转化为数学问题，确定出最短路径的方法。 难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 核心素养： 数学抽象 逻辑推理 数学建模,问题1：小马和松鼠住在河的同侧，小马准备把礼物小松鼠，请问小马怎样走路径最短？,A,l（河流）,B,根据两点之间线段最短，连接A、B，路径AB就是最短路径。,探究新知一：直线两侧两点最短路径,A,问题2：住在河边的小马准备把礼物送给河对面的小松鼠，请问，小马怎样过河路径最短，从河边那个点过河？,A,l（

3、河流）,B,C,此时：AB最小，即AC+BC的值最小。,根据两点之间线段最短，连接A、B，交直线 l 于C，C 为所求。,探究新知一：直线两侧两点最短路径,探究新知二：将军饮马问题,古希腊有一位精通数学、物理学的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 问题3：从图中A 地出发，先到一条笔直的河边l 饮马，然后回到营地B 选河边什么地方饮马可使将军所走的路线全程最短？,B,l（河流）,A,C,1、将这个实际问题抽象为数学问题，如下图。,2、设C 为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点P在l的什么位置时，A C +B C最小。,思考： 1、能否转化为“A、

4、B在直线l异侧”来解决呢？ 2、如何满足“直线l上的任意一点C，保持C B = C B ”？,利用轴对称，求出B 的对称点B，转化为直线两侧的两点最短路径。,B,A,l,C,B,1、做B 关于直线l的对称点B,2、根据两点之间线段最短，连接A B，交直线l于C， C 为所求。,根据轴对称性质：CB=CB,CB+ CA =CB+ CA,C,ACB中，AC+CBAB,同理：CB+ CA =CB+ CA = AB,化归思想,在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,用所学的知识证明A C +B C最短吗？,C,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连

5、接AC，BC，BC,由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC,AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,相信我行,若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,反思：证明AC +BC 最短时，点C的作用是什么？,探究新知三：造桥选址 如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,1、将这个实际问题抽象为数学问题，如下图。,2、路径AMNB即为AM+MN+NB，,3、设M 为直线a上的一个动点，MN代表河宽

6、长度固定，上面的问题就转化为：当点 M在l的什么位置时，A M +NB最小。,做法： 1.将AM 沿垂直与河岸的方向平移MN，使得到M、N重合，平移后A点记为A， 2.连接AB交河对岸直线b与点N, 3.过N作NMa于点M，点M为建桥的位置，MN为所建的桥。,N,M,证明：根据平移的性质 AM=AN AA=MN 又 ANB中， AN+BNAB AB=AN+NB AN+BNAN+NB AM+BNAN+N AM+BN+MNAN+NB+MN 所以点M为所求建桥位置，AM+BN+MN最小。,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,归

7、纳：,1、如右图是一个正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块表面爬到点B处，请画出爬行的最短路径？,2、如图：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点， 请在图中做出DNMN最小时，N点的位置？,达标与检测：,拓展与探索：一点在两相交直线内部(三条线段和最小),已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使ABC周长最小.,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小.,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，O