2.1导数的概念

1、第三章 变化率与导数,2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义,三维目标,1知识与技能 (1)理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法 (2)理解导数的几何意义 (3)理解导函数的概念和意义 2过程与方法 (1)理解概念背景，培养解决问题的能力 (2)掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力 (3)求切线方程，培养转化问题的能力 3情感、态度与价值观 让学生感受事物之间的联系，体会数学的美,重点难点,重点 (1)导数的求解方法和过程 (2)导数符号的灵活运用 难点 (1)导数概念的理解 (2)导函数的理解、认识和运用,教学建议,导数在高中数学中具有相当重要的地位

2、和作用 从横向看，导数处于一种特殊的地位它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题 从纵向看，导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，同时为以后研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用,新课导入,新课导入,在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”为什么会产生这样的情况呢？ 引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度 使学生

3、带着问题走进课堂，激发学生求知欲,新课导入,新课导入,预习探究,预习探究,预习探究,思考 用极限的形式表达导数,主要有哪些形式?,预习探究,预习探究,讨论 曲线的切线是否一定和曲线只有一个交点?,解:不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切,如图.,备课素材,1对导函数的概念的理解 “函数f(x)在点x0处的导数f(x0)”“导函数f(x)”“导数”之间的区别与联系如下： (1)函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限值，它是一个常数，不是变数 (2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的，即函数f(x)的

4、导函数f(x) (3)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一,备课素材,备课素材,3曲线上某点处的导数与切线的关系 (1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率 (2)函数f (x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f (x)的图像在x0处有切线，但不可导 4对切线的三点说明 (1)与该点的位置有关 (2)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线 (3)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以

5、有多个，甚至可以无穷多个与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线,考点类析,考点一利用导数的概念求导数,例1求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.,考点类析,【变式】 若y=x2在点P处的导数为3,则点P的坐标为 .,考点类析,考点二导数几何意义的应用,导入 (1)如图3-2-1,当点Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4)沿着曲线y=f(x)趋近于点P(x0,f(x0)时,割线PPn的变化趋势是什么? 图3-2-1,解:(1)当点Pn(n=1,2,3,4)趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT.,考点类析,(2)割线PPn的斜率与切线PT

6、的斜率有什么关系?,解:(2)当点Pn趋近于点P时,割线PPn的斜率无限趋近于切线PT的斜率.,考点类析,例2 曲线y=x2在点P(1,1)处的切线方程为.,考点类析,考点类析,小结 (1)导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k=f(x0); (2)欲求曲线切线的斜率,先找切点P(x0,f(x0).,考点类析,【拓展】若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x+1,求a的值.,备课素材,备课素材,备课素材,2求曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的方程与过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？,解：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的

7、切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出 kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线yf(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线,备课素材,例2 已知曲线yx2. (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3，5)的切线方程,备课素材,(2)点P(3，5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y|xx02x0，切线方程为yy02x0(xx0)， 由P(3，5)在所求直线上得5y02x0(3x0)， 再由点(x0，y0)在曲线yx2上得y0 x， 联立得，x01或x05. 从而切点的坐标为(1，1)或(5，25) 当切点为(1，1)时，切线的斜率为k12x02， 此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，,备课素材,当切点为(5，25)时，切线的斜率为k22x010， 此时切线方程为y2510(x5)，即y10 x25. 综上所述，过点P(3，5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10 x25.,答案 B,当堂自测,1.函数y=3x2在x=1处的导数为() A.12B.6C.3D.2,答案 B,当堂自测,答案 A,当堂自测,3.若曲线y=x2+ax+b