最优控制极小值.ppt

1、第二章 极小值原理 最优控制问题，实质上是求某个性能泛函的条件极值问题。前一章研究了求泛函极值的经典方法，即变分法。利用变分法求解最优控制问题的中心内容是求解欧拉方程和相应的横截条件。但是，在导出欧拉方程时利用了变分法的基本预备定理，这就要求容许状态和控制的变分 、 是任意的。换句话说，就是n维状态矢量 和m维控制矢量 都不受限制，可以在n+m维空间里任意取值；然而，如果最优控制问题存在不等式约束，比如要求满足条件 那么， 和 只容许在n十m维空间里某个闭集中取值。在这种情况下， 、 不再是任意的，用经典变分法来求解是十分困难的。即使采用上章介绍的化不等式约束为等式约束来处理，也只能针对具体问

2、题具体分析，得不出具有普遍意义的关系式。 为了解决这个问题，在50年代中期，苏联学者庞特里雅金在经典变分法的基础上发展起来一种方法，叫做极小值原理。极小值原理也常称做极大值原理，它们在本质上是一回事，只是叙述方式稍有不同。 极小值原理的一个显著特点是由它求出的结果易于建立最优控制系统的普遍结构形式，它不仅适用于处理带有开集性约束条件的最优控制问题，而且也适用于处理带有闭集性约束条件的最优控制问题；因此，应用十分广泛，至今已成为求解最优控制问题的强有力的工具。,本章首先介绍应用哈米尔登函数法求解变分学中的被尔扎问 题，然后介绍威尔斯特拉斯E函数，为推导极小值原理做准备； 最后介绍极小值原理，包括

3、有控制变量不等式约束的极小值 理、有控制变量及状态变量不等式约束的极小值原理，以及离 极小值原理。 一、波尔札问题及其解法 这一节研究变分学中的波尔札问题，通过它来介绍求解变 分问题的哈米尔登函数法。哈米尔登函数法仍然属于变分法的 内容。但是，由它导出的结果在许多方面同极小值原理的结果十分 相似，可以把它看成极小值原理的特殊情况，即只存在性约束 条件的情况。这正是我们不把这部分内容放在研究经典变分学的 第一章的原因。下面，首先讨论固定端点时间的波尔札问题， 然后讨论未定终端时间问题。,1固定端点时间、无不等式约束的波尔札问题 本小节研究这样几个问题：(1)应用哈米尔登函数法导出在微 分方程等式

4、约束下性能泛函取极值的必要条件；(2)一般条件下的 横截条件；(3)哈米尔登函数的一个重要性质；(4)在微分方程等式约束下 泛函取极值的充分条件；最后介绍若干应用实例。 （1）在微分方程等式约束下性能泛函取极值的必要条件 前一章研究过有等式约束的拉格郎问题，其约束方程和性 指标具有下列形式： 和 现在研究在一类特殊的等式约束，即系统微分方程 (231) 约束下的波尔札问题。其中 是 维状态矢量， 是待选择,的m维控制矢量。 取决于控制矢量 和初始条件矢量 。 是 维矢量函数，它的每个元对 和 有连续偏导数。给定 性能泛函 （2.12） 式中 、 和L都是连续可微的纯量函数。假设端点时间 和 固

5、定。 下面我们应用哈米尔登函数法来推导在系统方程(211)的 约束下，使泛函J取极值的必要条件。 应用拉格朗日乘子，通过矢量拉格郎乘了 把系统微分 方程（211）能泛函(212)，得到 定义一个纯量函数,（2.14） 该函数称做哈米尔等函数。利用这个函数，方程(213)可写成 （2.15） 取 的一次变分，得 （2.16） 对上式右边积分号下最后一项使用分部积分；得到,把它代入方程(216)，可得 (21一7) 泛涵J取极值的必要条什是 。在这里函数 、 、 不受限制，方程(217)中 、 、 为任意。于是，根据 必要条件可得下面一组重要的关系式： (218) (2l9) (2110) （21

6、11） 方程(218)、(219)和(2110)是利用哈米尔登函数法导 出的欧拉方程，分别叫做系统方程和控制方程。方程 (2111)是相应的横截条件，式中n维矢量 叫做协状态矢量 方程(218)和(219)一起叫做规范方程。,这里有2n+m个待定函数 ， ， 。方程(218)一(21l0)提供2n+m独立方程，其中有2n个一阶微分方程，它们的解带有2n个积分常数，这2n个常数正好可以利用方程(2111)提供的2n个边界条件来确定。由此可以得出结论；解方程(218)一(2111)便能确定待求的最优制 和最优轨线 。 必须指出，要得出控制方程 ， 必须任意。如 不是任意的，就不能使用基本预备定理，

7、这样，条件 就不一定是使J取极值的条件。,（2）关于横截条件的进一步讨论 下面讨论横截条件的一般情况。 假设初始状态 受方程 (2112) 的约束，其中 是r维矢量函数，它的每一个元连续可微、 。终端状态 受方程 (2113) 约束，其中,是 维连续可微函数， 。 在求性能泛函的极值时，方程(2。112)、(2113)分别规 定了初始状态和终端状态的取值范围。 利用矢量拉格郎乘子 和 ，将约束条件(2，112)和(2113) 结合到函数 和 ；得到 (2114) 式中 和 分别是r维和q维的。根据泛函取极值的必要条件， 可求出初始状态和终端状态受约束时的横截条件为,(2115) (2116)

8、矢量方程(2115)、(2116)包括2 n+r+q个方程，可以用来 确定规范方程的2n个积分常数和r+q个待定常数 。 （3）哈米尔登函数的一个重要性质 哈米尔登函数有一个重要性质，利用这个性质经常可以使最 优控制问题的求解得到简化。已知哈米尔登函数 将上式两瑞对t求全导 利用欧拉方程(2.18)一(2.110)，沿着最优轨线,若H不显含t，则由上式可得 或 常数(2117) 由此得出一条重要结果：如果哈米尔登函数H不显含，那么，它 沿着最优轨线等于常数。 （4）在微分方程等式约束下泛函取极值的充分条件 假设端点时间 、 固定，初始状态 。考虑微分方程约束（2.11）和终端约束（2.113）

9、,性能泛函可写成,取J的二次变分，得到 (2318) 由此可以得出结论：假设，J的一次变分等于零建立了J取极值的 必要条件，那么，J取极小(极大)值的充分条件是nn矩阵， (2319) 和(n十m)(n十m)矩阵， 即 (2320) 都是正定或半正定(负定或半负定)的。,上面从理论上导出了有系统微分方程和终端状态方程约束时 泛函取极值的充分条件。根据这个条件可以判断求出的极值是极 大值还是极小值。然而，对于实际工程问题，极值的性质是明显 的比如最短时间问题和最少燃料问题的最优解一定使性能泛函 取极小，而最大平飞速度问题的最优解一定使性能泛函取极大。 因此对于这样一类实际问题不必计算矩阵(2l1

10、9)和(2，120)， 可直接根据问题本身的性质来确定。 小 结 总结以上讨论，得到如下结果： 给定系统微分方程,和性能指标泛函 其中 是n维状态矢量， 是m维控制矢量。假设 、 固 定，纯量函数 、 和 连续可微，初始状态 受r维方程 的约束， 终端状态受q维方程 的约束，控制矢量 不受限制。如果定义哈米尔登函数为,那么，使性能指标泛函取极值的控制和轨线必须满足 1）系统方程 2）伴随方程 3）控制方程 4）横截条件 其中 、 分别是r维和q维待定拉格郎乘子。 5）如果哈米尔等函数不显含，则沿着最优轨线 =常数,例213 试求控制和轨线，把系统 从点 转移到直线 且使 取极小。 解：这个问题

11、的哈米尔登函数 伴随方程是 伴随方程的解是,控制方程是 于是得 将它代入系统方程，然后积分，可得 利用初始条件 ，可得 于是,这里 ，终端横截条件是 由后两式得出 。 把 、 、 、 代入终端横截条件，即当 t1，有 和 联立求解这两个代数方程，得 ， 于是得到最优控制和最优轨线，即,例212 已知系统由3个积分环节串联组成，其运动方程式 为 ， ， ， 试将系统转移到终端目标集 且使性能泛函 取极小。,解：这个问题的哈米尔登函数 伴随方程是 控制方程是 或 终端横截条件是 这里 ， ，于是得 到 因此要求出最优控制和最优轨线，需要求解下列方程组表示的 两点边界值问题： ， ， ，,由于终端条

12、件是非线性的，确定积分常数比较复杂，最好利用数 字计算机来求解。 例213 没有推力ma作用在二维空间里运动的质点m上，用坐标x、y定质点的位置。质点的速度分绒分别是u和v，如图2 1所示。假设报力加速度a为常数，重力加速度和空气阻力忽略 图21 不计。试确定推力方向角 的变化规律，使质点在规定终端时 间 进入平飞状态，离x轴距离为h，且使平飞速度 达到最 大。,解：这个问题的系统微分方程是 (2121) (2122) (2123) (2124) 初始条件是 (2125) (2l一26) (2127) (2128),终端约束方程是 ， 性能指标是 哈米尔登函数 伴随方程是 伴随方程的解为 (2

13、129) (2130) (2131) (2132),控制方程是 (2133) 已知 ， 由横截条件 和 可得,(2134) (2135) （2l36） (2l37) 和 (2l38) (2139) 由方程(2129)一(2132)和方程(2，134)一(2137)， 可得,将 代入控制方程(2133)，可得 (2140) 其中 下面，我们用 代替作独立变量，解系统方程(2，l21)一(2。124)。 对式(2140)两边微分，可得 另一方面，由 可得到 把它代入系统方程组，用线性正切律积分，再利用初始条件(2 25)一(2128)，可得,式中待定常数 和 。要用尚未使用的两个边界条件即式(21

14、 38)和式(2139)来确定。由式(2。140)，知当 时，有,可得出 (2145) 由式(2，I38)和式(2142)，知当时 ，有 由此得出 ， (2246) 由式(2，145)和式(2146)，可得 (2147) 将上式代入式(2140)，得到 (2148),由式(2139)、(2144)、（2145）、(2148)，令 ，得到 (2149) 给定 、 、 ，由上式可算出 ，再将 代入式(2148) 算出 。将 代入式(2140)，便求出最优推力方向角随时间变 化的规律 （2150） 将式(2147)、(2148)代入方程(2141)和(2143)，得到 端时间质点的平飞速度 和x坐标

15、： 和,请看实例：设 试求终端时间可能达到的最大平飞速度。 由给定条件可算出 而 把它们代入式(2149)，得到 0.2133333 由上式算出 ，把它代入方程(2151)，可算出终端 时间最大平飞速度，即,例214 在高超音速流体中零攻角下旋转体最小阻力外形,子弹高速运动产生的激波,日本新干线高速列车,美国航天飞机试验飞行,A F-3 British military jet aircraft,美国隐形B2战略轰炸机,例214 在高超音速流体中零攻角下旋转体(见图22)动压 J可以精确地表示成 (2153) 式中 q动压； x离开最大半径点的轴向距离； r(x)旋转体半径，为x的函数； (2

16、154) 牛顿近似压力系数 旋转体长度； 旋转体最大半径。 图22 我们的任务是根据给定的 、 、 ，酌定r(x)，使D达到最 小。,解：令 （21一55） 考虑可能出现钝头情况，将式(2154)代入式(2353)，可得 或 (2156) 这个问题的系统方程是 性能指标是 式中 x是独立变量； r是状态变量； u是控制变量； r(0)给定为a； r(l)未规定。,u是控制变量； r(0)给定为a； r(l)未规定。 由系统方程和性能指标，哈米尔登函数 (2157) 伴随方程是 控制方程是 (2158),由横截条件确定两点边界条件为 (2159) 哈米尔登函数不显含x，所以H沿最优轨线等于常数。

17、将式(2158) 代入式，得 常数 (2160) 由式(2158)和(2159)，可得： 由此得出 或 (2161),将代入式(2160)，得 由式(2160)和上式得到用斜率 表示的旋转体半径表达式，即 （2162） 对上式两边求微分，得 (2163) 由式(2155)，可求出 dr一udx 或 dx一dru (2164) 将上式代入式(2163)；整理后积分，可得 由此求得 （2165） 上式表示x与斜率u之间的关系。 方程(2162)和(2165)是旋转体最优形状参数方程。现解,下面这两个超越方程： (2166) (2167) 可以确定顶点半径r(l)和x0上的斜率u。 图23表示 固定

18、， 为几种不同值时旋转体的几何形状。 由式(2162)一(2164)，可得 将上式代入式(2156)，并注意到,和 可得 参考面积为 。因此，最小阻力系数为,(2168) 假设 1000mm， 250mm；形式(2l67)除(2166)， 解上述方程得 将 代入式(2166)和(2168)，得,例215 给出长 为的绳 子，连在一根长为2 的直线 的两端， ，试用哈米尔登 函数法，求使绳子同直线间面 积最大的绳子的形状。 解：设绳子与直线间的关 系如图24所示，由题意可列出 如下关系式： 其中 是绳子形状函数曲线的斜率。设 是从起 到 处的一段绳长，则,因此有 且 于是，得到这个问题的系统方程

19、是 其中x、y是状态变量； 是控制变量，t是独立变量。这个问 题的性能指标 初始条件 (21一69),哈米尔登函数可表示为 (2171) 伴随方程为 (2172) 控制方程为 因此 (2173),哈米尔登函数不显含，因此， 沿最优轨线等于常数。 由式(2172)和(2173)，可得， (2174) 由式(2171)和(2173)，可得 (2175) 对(2174)两边取微分，可求得 因此有 (2176) 令 。当时 ，由式(2175)和式(2169)第一式，可得 (2177) 由式(2175)和(2170)，当时 ，有 (2178),由式(2177)、(2178)，可得 (2179) 由式(2

20、176)，可知 即 (2180) 因此由式(2。179)、(2180)，得到 把 和 代入式(2176)、(2177)，得到 ， (2181) 由式(2174)和式(2181)，得 当 ，有,当 ，有 比较以上两式知c0，于是得到 (2182) 由式(2174)、(2。175)和式（2。181）以及co，可得 和 将上面两式两边平方然后相加，得到绳子最优形状方程，即,这是一段圆弧方程 圆心位于 ，半径为 ，其中 已知，通过求解超越方程(2182)可求出相应的 。 例216 把一火箭运载工具从一已知的初始环形轨道在预 定时间 内发射值至最大可能的环形轨道。假设火箭发动机的推力 大小恒定，即为 常

21、数，如图25所示，试求推力方向角的 变化规律。 解：令 r为宇宙飞船至引力巾心的径向距离； u为速度的径向分量； v为速度的切向分量； 为运载火箭的质量； 为燃料消耗的速率，设为常数； 为推力方向角； 为引力常数。,由题意可列出系统运动方程，即 性能泛函为 初始条件为 终端条件为 于是，可列出哈米尔登函数 伴随方程是,控制方程是 即 在这里 出此可得终端横截条件：,出此可得终端横截条件： 于是，得到以下两点边界值问题：,， ， ， ， 求解上面的非线性、时变两点边界值问题，可求出状态变量 ，协状态变量 ，拉格郎乘子 、 进而由 可求出推力方向角 随时间的变化规律。,2未定终端时间、无不等式约束

22、的波尔扎问题 前一小节用哈米尔登函数法研究了端点时间固定的波尔札问 题现在讨论终端时间未规定的情况。在这里终端约束条件是终 端状态和终端时间的函数，而对终端时间未做规定。为方便起见， 假设初始时间 已知。 现在的问题是在系统微分方程 未规定 (2183) 约束T，求控制u(t)和轨线x(t)，使性能泛函 (2184) 取极小，且在未定终端时间 满足下面 个终端约束方程： (2185) 这个终端约束条件是前一章研究过的终端条件： 的更 一般情况。 使用矢量拉格郎乘子 和v，把约束方程(2183)、(2184),85)结合到性能泛函(2。184)，可得到 或 (2186) 式中哈米尔登函数H和纯量

23、函数 别定义为 和,令 把它们代入式(2186)，构成 再把 展开成台劳级数，取它的线性项，得到泛函J的一次变分 为分析方便，式中省去了符号“*”。对上式右边积分号下最后 项使用分部积分，并注意列,(2187) 得 图26是式(2187)的几何说明。上式中各个变分 、 、 图2-6,、 、 、 互不相关且任意，根据泛函J取极值的必 要条件 ，可以得出如下结果： (2188) (2189) (2190),(21一91) (2192) (2193) (2194) 方程(2188)一(2190)代表2n个一阶微分方程和m个代数方 程，用来确定2n十m个未知函数 (i1，2，n)和 (j1，2，m)。

24、方程(2。191)一(2，194)代表2n十q十1 条件，用来确定2n个积分常数，q个拉格朗乘子 (k1，2， q)和一个最优终端时间 。同固定端点时间问题相比，这里增加 一个方程，即式(2194)。这个阶加方程正好是确定未知终端时 间需要的。,上一小节证明了哈米尔登函数的一个重要性质，即如果它不 显含t，则沿最优轨线等于常数。对于未定终端时间问题，可以 证明上述性质同样存在，特别是如果函数 和 都不显含t，则由 方程(2。194)可得出 由此可以得出结沦：如果终端时间未规定，且函数H、 和 不显含t，则哈米尔登函数沿最优轨线等于零，即 ， 小 结 总结以上讨论，得到如下结果： 给定系统微分方

25、程 和性能指标 其中,是n维状态矢量； 是m维控制矢量。 假设 固定， 未规定。纯量函数 和L连续可微，初始状 态 未规定，终端状态受q个方程，即 约束，控制向量 不受限制。 定义哈米尔登函数 那么，如果 、 、 分别是最优控制、最优轨线和最优 终端时间，则它们同 一起在 区间上必须满足： 1）系统方程 2）伴随方程 3）控制方程,4）横截条件 5） 如果哈米尔登函数H和函数 、 都不显含t，则 例2。17 给定单积分系统 ， 求控制变量 使，并使,取极小。其中 和 是给定常数， 终端时间未规定。 解；这个问题的哈米尔登函数 控制方程是 或 伴随方程是 它的解是 常数 系统方程的解是,利用边界

26、条件 可得 终端约束方程和附加方程是 和 或 给定 和 ，可由上述方程求出 和 ，进而求出最优控制 和最优轨线 。 例如，假设 ，则可算出： ， ，,例218 对于例213所描述的系统，假设推力加速度。为 常数，重力加速度和空气阻力忽略不计。要求用最短时间把质点 送到垂直坐标为 的水平轨道上；且使水平速度达到规定值 ，而对x坐标未规定，试求推力方向角 的变化规律。 解：由题意，可列出这个问题的系数微分方程： 性能指标 (2196) 终端约束条件 (2196) (2137) (2I98),于是得到哈米尔登函数 伴随方程是 (2I一99) (21100) (2、1一101) (21102) 半随方

27、程的解为 (21103) (21104) 控制方程,(21105) 这个问题的初始条件是 (21106) (21107) (21108) (2 1109) 终端横截条件是 (21110) (21111) (21112) (21113),和 (21114) (21115) (21116) 这里 因为H和N都不显含t，所以 ，于是有 利用终端横截条件可确定伴随方程解的积分常数 由式(21103)一(21105)及上面求出的积分常数，可得 (21117) 其中 解系统方程，得到,(2 1118) (23119) (21120) (21121) 由式(21117)，当时 ，有,因此， 。由方程(211

28、15)和(21119)，可得,因此， ，于是得到 (21122) (21123) 利用式(21114)、(21116)、(21118)、(21120)、(2。1121) 和(2，1122)，并注意到 可得 （21124） （2l125） (22126) 由式(21124)、(21125)消去c，可得,(21127) 将式(2，1123)代入(2，1124)，消去c，可求出 （21128） 如果给定a、h和U，则可以式(21127)算出 ，再由式 (21128)和(21126)计算出最短时问 和终端时间的x坐标 ；然后把式(21123)代入(2l117)得到最优推力方向角 随时间的变化规律。例如

29、，假设 a150m ，h200m，U737ms,那么，利用上面导出的关系式可算出： 例219 在例218中考虑重力加速度g的影响，试确定 1) 初始推力方向角 ；2)终端推力方向角 ；3)最短时间 ； 4)终端时间的坐标 。 解：这个问题的系统方程是 ， ， 性能指标泛函是式(2l95)，终端约束条件是方程(2196) (2198)；哈米尔登函数是 伴随方程是方程(2l99)一(21102)；初始条件是式(21l 06) 一(21209)；终端横截条件是式(21110)一(23116)；控,制方程是方程(21117)。解系统方程，可得 用终端横截条件(21114)一(21116)，可得 (2l

30、129) (21130) (21131) 外，当 时，有 (21132),(21133) 方程(21130)和(21133)，可得 (21134) 方程(2，1129)一(21131)和方程(2I133)，可得,(21135) 由方程(21129)一(2。1133)，可得 (21136) 如果给定阿a、h和U，则由式(21134)、(21135)可算出 和 ， 然后把它们代入式(21132)、(21136)可算出 和 。例如，给定 ，h200m，U737Ins 可算出 ，,问题211 给定系统方程 初姑条件为 终端条件为 未规定 试求控制 和轨线 ，使性能泛函 达到极小。 问题212 给定系统

31、方程为 端点条件为 未规定 试求控制和轨线，使性能泛函 达到极小。,问题213 给定系统方程 端点条件为 未规定 试求控制 和轨线 ，使性能泛函 达到极小。 问题214 试求控制 和轨线 ，把系统 从转移到，且使性能泛函 达到极小。 问题215 试在例2l4所述最优弹头形状问题中，用式 2161)表示的另一结果，导出弹头形状曲线方程，并 讨论所得结果。 问题216 给定系统方程为 性能泛函为 ， 未规定 初始条件为,终端条件为 试求使J取极小的 、 和 应满足的微分方程式和边 界条件。 问题217 试用哈米尔登函数法求解例143。 问题218 设有一质点在 平面上从点 向点 运动，其瞬时速度是

32、该质点所在位置的函数，即V= V(x，y)，质点运动方程式是 式中 是速度方向与x轴间的夹角。试证明当质点沿着最优时间轨 线行进时控制变量 必须满足下列微分方程： 问题219 试用哈米尔登函数法求在tx平面上由点 到直线 具有最短弧长的曲线方程。,二、充分条件及威尔斯持拉斯E函数 本章主要任务是介绍极小值原理。但是，极小值原理的严格 证明全十分复杂的，我们只做简单的证明。在推导极小值原理 时，要用到泛函取极值的一个充分条件。这个条件是建立在威尔 期特拉斯E函数基础上的。这一节的任务是介绍这个充分条件 及威尔斯特拉斯E函数。 1极值曲线场 在(t，x)平面上，如果对其中的某个域D上的每一点都有曲

33、 线族xx(t,c)中的一条曲线而且只有一条曲线经过，我们便说 曲线族在D域上形成一个场，或更准确地说，形成一个正常场。 在曲线族xx(t，c)上点(t，x)处切线的斜率，叫做场在该点的 斜率，记为p(t，x)。显然，如果x(t，c)连续可微，则p(t，c)在场 中每一点上都唯一确定。如果真x(t，c)是分段光滑的，那么，除角 点以外，p(t，x)在场中每点也都唯一确定。 例如，在 圆域内一切乎行直线形成一个场，这个场的 斜率为p(t，x)1，如图27所示。 如果曲线族xx(t，c)的全部曲线都通过某一点A(t。，x。)， 形成一个曲线束，束中曲线布满整个域D，束心也在其中，并且 除束心以外曲

34、线在域D内不再相交，如图28所示，我们就说曲线 族 xx(t，c)也形成一个场。为了同前面说的正常场相区别，称 它为中心场。,如果正常场或中心场是由某个变分问题的极值曲线族形成 D，则称这个场为极值曲线场。在第于章曾经指出，关于某个变 分问题的欧拉方程的积分曲线代表一族曲线，这样一族曲线就是 所述变分问题的极值曲线族。 场的概念也可以由平面情况推广到任意维空间情况。如果对 于空间 的域D内的每一点，都有曲线族 (i1，2，n)中的一条并且只有一条曲线经过， 则曲线族 在域D内形成一个场。在点,处函数 对t的偏导数，叫做 场的斜率函数 (i1，2，n)。如果写成 量形式，则有 其中 任意维空间里

35、的中心场也可以用同样方法来定义。,2威尔斯特拉斯E函数 假设在性能泛函 求p极值问题中，极值曲线 起始于 ，终止于 它被包含在斜率等于p (t，x)的极值曲线场内，如图29所示。取c 是经过A、B两点与 邻近的容许曲线，则性能泛函J的增量 (221) 式中积分 和 分别表示性能泛函 沿着容许曲线c的积分值和沿着极值曲线 的积 分值。 图2。9,勿庸置疑，如果泛函J在任何一条与曲线 邻近的曲线上的 积分值都不小于(不大于)在曲线 上的积分值，也就是 ，则泛函J在曲线上 达到极小(极大)值。 由此可见，要确定极值的性质，就要确定 的符号，这就 需要判断方程(221)右边的两项中哪一项大，哪一项小。

36、但是 由于这两项的积分路线不同，直接进行比较是困难的。为了把它们 化成便于比较的形式，可把式(221)右边第二项沿曲线积分， 变成等价的，沿曲线c的积分。为了便于数学上处理，我们引入 如下辅助函数 (222) 其中p是极值曲线场在点(t,x)，处的斜率，即通该点的极值曲线 线在该点的切线斜率，dx/dt是容许曲线在(t,x)处切线的斜率 率。,在图210上，点划线表示一族极值曲线，c表示与极值曲线 邻近的一条容许曲线，那么，在点 处，有 图210 下面我们来证明积分(2，2J2)与积分路径无关。 由普通微积分学可知，曲线积分 与积分路径无关的充分必要条件是函数N(x，y)和M(x，y)在各 点

37、满足关系式： （2。23） 把函数(222)改写成,(224) 如果上述积分与积分路径无关，利用关系式(223)，就有 (225) 桓等式(2。2-5)两边都是全偏导数，把它展开，可得 或 (226),容易看出，方程(2。26)恰巧是方程 的展开式，这也正是欧拉方程 当 时的展开式，而场的斜率 就是欧拉方程积分曲线 切线的斜率 ，因此，对所述极值曲线场中 的来说， 必然满足欧拉方程。 这就证明了恒等式(225)必然成立，从而 证实了辅助函数(224)或(222)与积分路径无关；因此下式 立：,因为在极值曲线场中沿着极值曲线每一点 ，因此，上式右边 变成 于是得到 对于任意选择的，上式都成立。因

38、此，增量方程(2。21)可以变 换成如下形式：,上式右边的被积函数叫做威尔斯特技斯俄E函数。用符号 表示，即 于是J的增量方程可写成 显然，如果函数E不为负，则一定有 。 因此，泛函J在 曲线 上达到极小值的充分条件是 ；反之，如果E不为正， 则必有 。于是，泛函J在曲线 上达到极大值的充分条件 是 。这个根据函数 的符号来判断泛函取极小值或极大值 条件，叫做威尔斯特拉斯条件。 在极值曲线场中，每一点都有一条极值曲线经过，容许曲线 c上的每一点(t，x)同时也是经过该点的极值曲线上的点(t，x*)。 例如，在图210所示的极值曲线场中，容许曲线上的点 同样也是通过该点的极值曲线上的点 。这个点

39、的纵坐标,对容许曲线 而言记为 ，对极值曲线而言记为 。因此，威尔 斯特拉斯条件也可以这样说：如果函数 则性能泛函取极小(极大值。这里 上述条件也可以推广到多变量，即函数为矢量的情况。 假设性能泛函 其中 为一n维矢量，那么， J沿某一容许曲线 c的积分值与沿极值曲线 的积之差,如果 或 则性能泛函J取极小(极大)值。其中 和 3弱极值和强极值 如果对于一切 ，在同时满足容许曲线上的x值与极,值曲线上的点相接近，容许曲线上的 值也与极值曲线上的p相接 近的条件下，有 ，则泛函达到的极值称为弱 极小（极大）值，具有这样性质的容许曲线如图211所示。如果对 于一切 ，在容许曲线上的 与极值曲线上的

40、点相接近， 对于任意 ， 有 ，则泛函达到的极值称为强 极小(极大)值。在这样的情况下，容许曲线不仅包括图211中 的那一类，而且也包括图212中的那一类。由此可见，如果泛函 在上 有强极值，那么，它在上也有弱极值；反之，如果它在 上有弱极值，那并不一定在 上有强极值。 图211 图212 在此以前，我们根据泛函的台劳级数展开式的线性项建立 极值的必要条件根据它的二次项来判断极值的性质。这就要 求 和都是微变量。也就是说，要求对于一切 ， 容许曲线 及其导数 分别接近极值曲线 及其导数 。 这正是弱极值要求的条件，因此，所确定的极值属于弱极值。,小 结 总结以上讨论，得到如下结果： 给定性能泛

41、函 其中是 一n维矢量，建立威尔斯特拉斯E函数 或 如果在区间 上满足威尔斯特拉斯条件 或 则性能泛品J取极小(极大)值。,如果上述条件是在容许曲线上的 值与极值曲线上的点 相接近， 同时容许曲线上的x位也与板位曲线上的p相接近的条件下达到的，那么，泛函达到的极值称为弱极值。 如果只要求x接近 ， 而不要求 也接近于p，那么，泛函达到的极位称为强极值。 例221 给定性能泛函 其中a0，bo。直线族 是它的欧拉方程的解。利用端点条 件，可求出极值只能在直线 上达到。而且直线 形成一。 个以点(0，0)为中心，其中包括直线,的中心场，如图213所示。这个问题的威尔斯特拉斯 函数是 在极值曲线 上

42、，场的斜率 pba0，如果取 近似 于ba值，则有 ，具备了达到弱极值的全部条件。这样，弱极 值就在极值曲线 上达到了。如果 可任意取值，则 可以有任意符号，因而E也可以有任意符号。因此，不满 足达到强极值的充分条件，泛函J在极值曲线 上达到的 极值是弱极小值。,问题221 试证明当性能泛函 其中 为一n维矢量时， E函数可以表示成,三、极小值原理 在本章第一节讨论了无不等式约束的波尔札问题，引出了求 解变分问题的哈米尔登函数法，解决了一些较简单的最优控制问 题。但是，这一方法所能处理的仅局限于对控制矢量 和(或) 状态矢量 都只存在开集性约束条件的问题。由于 和 不受限制，因此，它们的一次变

43、分 和 都是任意的，我们 可以对方程(217)的下面部分：,使用基本预备定理，得出两个重要方程，即控制方程和伴随方 程。 然而，大量的实际最优控制问题要复杂得多，控制变量和 (或)状态变量要受到物理条件限制，常常捞有闭集性约束条 件。例如，控制矢量和(或)状态矢量可能存在下列形式的约 束，即 和 或 这里g、h、p分别是r维、s维和k维连续可微的矢量函数。 容许的 控制矢量和状态矢量是有界的， 和 不能完全任意，因 而不能使用基本预备定理，也就不能由方程(217)得出必要条 件， 和 本章第一节导出的结果不适用于带有闭集性约束条件的最优控制 问题。,为了克服上述困难，学者们做了大量工作，其中庞

44、特里雅金 极小值原理成功地解决了如何处理带有闭集性约束条件的问题， 成为目前研究最优控制问题的主要方法之一。 这一节首先讨论有控制变量不等式约束的极小值原理，然 后，简短地介绍带有控制变量和状态变量不等式约束的问题。 1有控制变量不等式约束的波尔札问题，庞特里雅金极小 值原理 这一小节的任务是利用前面的某些结果，研究有控制变量不 等式约束的波尔札问题，介绍庞特里雅金极小值原理。 给定系统微分方程 (2。31),其中 是n维状态矢量，它的每一分量都是分段光滑函数， 是m维控制矢量，它的每一分量都是分段连续函数。假设初始状 态为 (232) 其中 固定，已知 。在终端时问 ，终端状态受方程 (23

45、3) 约束，N是q维连续可微矢量函数，q , 未规定。控制矢量 受不等式 (2。34) 约束。 是r维连续可微矢量 函数。性能招标是 (235),这个问题的提法是；在不等式(234)限定的容许控制的集 合中，寻找控制矢量 ，把系统(231)从给定初始状态 在某个未定终端时间 转移到方程组(233)限定的某个终态，且 性能指标(235)达到极小。 同前面讨论的问题相比较，这个问题有这样两个特点： 1） 包含有不等式约束（2。34）； 2） 把控制变量由分段光滑函数推广到包括分段连续函数。 如何处理好这两个新问题，是解决历述问题的关键。 约束条件(234)同我们在第章遇到的约束条件(1526) 十

46、分相似，因此，可以采用类似方法来处理。 选择r维矢量 把它的每一个分量分别同 矢量 的相对应的分量写成 或,显然，无论 或 取正或取负，它们的平方总是非负的，从而保 证函数 总是非负。究竞采用哪一种处理方法，要看具 体情况。在某种情况下或许采用第一种方法方便些，而在另外情 况下或许采用第二种方法要方便些。我们采用第二种方法，把它 写成矢量形式，即 (236) 这里 这样一来，我们便把不等式约束(234)转换成了等价的等 式约束(236)。 为了把控制函数 从分段光滑函数推广到分段连续函数， 再引入m维矢量函数 令 (237),如果u(t)是分段连续的，则w(t)将是分段光滑的。在第一章第六 节

47、研究有角点的极值曲线时，我们已经把泛函的自变量函数从连 续可微的推广到了分段光滑的。 经过上面的处理以后，我们就把原来的问题转化成在系统微 分方程 (232) 初始条件是 (239) 终端条件是 (2310) 和与不等式(234)等效的方程 (231) 的约束下，寻找控制矢量 和状态矢量 ，使性 指标泛函,(2312) 达到极小。 这是一个存在多种等式约束的条件极值问题。如前所述，处 理等式约束的一种比较方便的方法是通过拉格郎乘于把它化成无 约束问题。 选择矢量拉格郎格乘子 、v、 ，把约柬条件(238)、 （2310)和(2312)结合到性能指标泛函(2312)，构成一个 新的性能泛涵 (2

48、313) 为了分析方便，定义以下两个纯量函数：,1） 哈米尔登函数 2） 拉格朗日函数 (2315) 它们代入方程(231 3)，可得 (2316) 于是，在方程(238)一(2311)约束下求性能泛函(2312)的 条件极值问题，转化成了求性能泛函(2316)的无条件极值问,题。 取泛函(2316)的一次变分，得 (2317) 式中是分别由 引起的J的变分 。 而 分别是自变量函数和终端时间的变分。具体地说， 对积分号下第二项使用分部积分，并注意到 和 可得,利用分部积分，并注意到 ，因而 ，上式变成,（2。322） 和 （2。323） 将式(2318)一(2323)代入式(2317)得到,

49、式中变分 都是任意的，利用泛函取极值的必要条件令上式右端等于零，可 得到欧拉方程，即 和横截条件,(2330) (2331) （2332） （2333） 方程组(2325)一(2333)可以进一步合并和简化。把方程 (2315)表示的函数代入方程(2325)、(2328)、(2329) 可得 （2334） （2335） (2336) 将方程(2326)、(2327)分别同方程(2332)、(2333)合并,得到 （2337） （2338） 把的表达式代入方程(2330)、(2331)，得 (2339) （2340） 由给定的终端约束条件，有 (2341) (2342) 方程(2334)一(23

50、38)是所述问题的欧拉方程，方程(2339),(2342)是相应的横截条件。欧拉方程的每一个分段连续可微 解，都是上述变分问题的极值函数或相应的最优控制问题的最优 解。在这里只要求函数是分段光滑的。 然而，满足欧拉方程的函数只是满足了使性能泛函取极值的 必要条件。要使性能泛函真正取极小（极大）值，还应当满足 威尔斯特拉斯条件。也就是说，威尔斯特技斯E函数必需非负 (非正)。 需要说明的是，在这里建立E函数对应当把函数 理解成方 程(227)中的函数L，把方程(227)和(228）中的矢量 理解 成广义状态矢量。它的元在拉格郎函数 中除包含矢量 的元以 外，还应当包含矢量 、 、 、 的元。用x表示广义状态矢量， 则 于是，拉格郎函数 可以写成,这样一来，威尔斯特拉斯条件就是 (2。343) 式中 表示最优解矢量，X表示满足一切约束条件的容许函数 矢量。把式(2。343)展开，可得 (2344) 函数 不含 和 ，因此,再注意到 并且把式(2336)代入 的表达式，条件(2344)简化成 或 上式也可以改写成下列形式： (2345) 条件(2345)的含意是：在容许控制的集合U中，最优控制 将使哈米尔登函数在最优轨线上达到最小。或者反过来说，如果 在容许控制的集合U中选择控制，那么，使哈米尔登函数达到最 小的控制