第9章-正弦量与相量

1、第9章 正弦量与相量,重点：,1. 正弦交流电的基本概念,2. 正弦量的相量表示,3.电路元件与定律的相量模型,9.1 正弦量的基本概念,1. 正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,周期T (period)和 频率f (frequency) :,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz(赫兹),单位：s(秒),正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT ),交流电的角频率就是角位移与所用的时间之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交流电变化一周，就相当于变化了弧度。角频率的单位是弧度秒，它与周期、频率的关系为,周期T 、频率f

2、与角频率,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。,研究正弦电路的意义：,1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数,优点：,2）正弦信号容易产生、传送和使用。,（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。,对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。,幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,(2) 角频率(angular frequency),2. 正弦量的三要素,(3) 初相位(initial

3、phase angle) y,2,t,单位： rad/s ，弧度 / 秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,i(t)=Imcos(w t+y),同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：| | 。, =0, =, =/2,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点右侧,3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。,设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i),则 相

4、位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i,j 0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；, j 0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定： | | (180)。,j 0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,特殊相位关系：,= p/2： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同

5、频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,4. 周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值(effective value)定义,有效值也称均方根值(root-meen-square),物理意义,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos( t+ ),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压

6、值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,9.2 正弦量的相量表示,1. 问题的提出：,电路方程是微分方程：,两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。,若干个正弦量叠加,2. 解决的思路,可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的相位角，如图所示。,显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。,将这个旋转矢量与正弦量对应起来,当正弦曲线上的一点沿着的正方向向前运动时，左边对应的矢量将会逆

7、时针旋转。,i1,i1+i2 i3,i2,角频率： 有效值： 初相位：,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,i3,实际是变换的思想,复数A的表示形式,A=a+jb,3. 复数及运算,两种表示法的关系：,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2,图解法,复数也是矢量,(2) 乘除运算采用极坐标形式,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解,例2.,(3) 旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq

8、相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解,故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子,4. 正弦量的相量表示,观察表示正弦量的矢量和复数矢量,这两个旋转矢量的差异是：,表示复数的旋转矢量则是随着角的变化发生旋转的，它与时间和角频率无关。,表示正弦量的旋转矢量是随着 的变化发生旋转的，它与时间和角频率有关；,旋转因子,构造一个新的复数矢量,观察下面两个复数：,ejt,根据欧拉公式,但这部分正是我们需要的正弦函数,无物理意义,对Aejt取实部：,得到一个有物理意义的正弦量,于是我们可以用新构造的复数矢量来“表示”正弦量,例,解,用复矢量表

9、示为,取其实部可得,观察整个演算过程你会发现，复数 并未参与运算，它只是在运算的开始和结束时用于描述。,这是因为：频率相同的正弦量叠加后频率不变,真正参与运算的实际上是复数,因此，我们索性就用复数 来表示正弦量。但由于这个复数与普通复数并不一样，它后面还隐含了t，所以，将这个特殊的复数称为“相量”，并在字母的上端加上一个圆点“”，以表示此量为相量，而不是普通复数。,比如，相量A要写成:,正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时有幅 值相量（如 ）和有效值相量（如 ）的不 同表示.,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值或幅值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立

10、正弦电压与相量的对应关系：,或,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,例1,试用相量表示i, u .,解,已知,在复平面上用向量表示相量的图,相量图,对于相量,可在复平面上用向量表示为,5. 相量法,(1) 同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,例,也可借助相量图计算,首尾相接,（2）正弦量的微分、积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,注, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。

11、, 相量法用来分析正弦稳态电路。,9.3 电路元件与定律的相量模型,1. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2. 电感元件VCR的相量形式,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL， 感纳，单位为 S,感抗和感纳:,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形

12、图及相量图：,电压超前电流900,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3. 电容元件VCR的相量形式,XC=1/w C， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比, 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形图及相量图：,电流超前电压900,4. 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相