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文档简介

1、第2节 牛莱公式与简单定 积分计算,一、 问题的提出,二、 积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、凑微法简单积分计算,五、小结,1,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,2,二、积分上限函数及其导数,称,为积分上限函数.,性质：,证明,3,由积分中值定理得,由极限性质知,由连续函数定义知,定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）,定理的重要意义：,(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.,(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,4,证明,证毕.,由函数 的连续性和积分中值定理得,由定理6.2.1的证明知,对区间端点的情况用单侧导数说明即可.,

2、5,求上限函数的导数应注意:,中的表达式是一样的.,例1 求,根据上限函数求导数公式得,解,6,定理,证明,7,例 2 已知,解 由上限函数的求导公式的,例3 设,求,解,8,三、牛顿莱布尼茨公式,定理 6.2.3（微积分基本公式）,证明,令,9,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 4 求,解,10,例 5 计算,解,例 6 下列计算是否正确?,解 不正确.,被积函数在积分区间上为正,但积分值是负的,与积分性质矛盾.,使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在积分区间上的可积性.,11,例 7 计算,解,注意:恒等变形时,一定要使被积函数有意义.,例 8 计算,解 原

3、式,注意: 计算定积分开根号时,一定要带绝对值.,12,练习：,注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.,例11 求,解,四、简单定积分的计算-凑微法,13,例12 计算,解,解,例13 计算,14,解,例14 计算,原式,例15,设函数 为连续的奇函数,且已知,求积分 的值.,解,15,解,因为当 时,故,这便排除了选项(C)和(D).,又令,则,即 在 单调增加,16,有,故,即选项(B)正确.,17,五、综合题,(1) 求导数,解方程两边关于求导数得,解得,18,解,19,例 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,(2)求不定式的极限,20,(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积

4、分定义求和式极限,例6求,解原式,21,证明,(4) 证明单调性、方程的根,22,23,提示：,24,例(040403) 设,(A) 在 点不连续.,(B) 在 内连续, 在 点不可导,(D) 在 内可导, 但不一定满足,(C) 在 内可导, 且满足,(5) 求函数关系并讨论其连续性,则( ),25,当 时,当 时, 显然,当 时,解,在 处连续,当 时,当 时,在 处不可导. 故B正确,26,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,五、小结,27,思考题,思考题解答,28,(980205),确定常数,的值,使,解,故,思考

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