八年级下册数学正方形的性质和判定

1、思考：1、在第四章中我们已经学习了哪些特殊的四边形？,平行四边形、矩形、菱形。,思考：2、分别叙述这三种四边形的定义。,复习,邻边,相等,有一个角,是直角,两组对边,分别平行,有一个角是直角,有一组邻边相等,正 方 形,正方形,矩形,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,有一组邻边相等的平行四边形（菱形）,并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）,两层含义,正方形,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形,有一组邻边相等的矩形叫做正方形。,1.正方形定义:,1、_的矩形叫做正方形。,快速反应,有一组邻边相等的,2、 的菱

2、形是正方形。,有一个角是直角的,3、 的平行四边形是正方形。,有一个角是直角且有一组邻边相等的,2、正方形的性质,边,对角线,对边平行,四边相等,对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角,四个角相等且都是直角,角,正方形性质,正方形具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。,正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都 相等且对边平行。,正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相 垂直 平分，每条对角线平分一组对角。,二、正方形的性质,三段论形式：,四边形ABCD是正方形 DABABC BCD CDA90 ABBCCDDA ADBC，ABCD AC BD，ACBD，AO

3、 CO BO DO AC平分BAD和BCD BD平分 ABD和ADC,对称轴,思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,请用这四种图形填空,A表示：B表示：C表示：D表示：,平行四边形 矩形（菱形） 菱形（矩形） 正方形,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等且有一个角是直角,正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系,3、正方形的判定:,1.定义法 2.先判定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。,动 脑

4、 想 一 想,、对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？,、对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？,、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？,、能说“四条边都相等的四边形是正方形吗？”为什么？,、能说“四个角都相等的四边形是正方形吗？”为什么？,例题1:四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数。,8,解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450,(2)若AC=4，则正方形边长 ; 正方形的面积是,4,(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点到正方形一边的距离,例2求证：正方形的两条对角

5、线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。,已知：四边形ABCD是正方形，对角 线AC、BD相交于点O 求证：ABO、 BCO 、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形,证明：四边形ABCD是正方形,由于正方形的面积等于ABO 面积的4倍，所以正方形的面积等于对角线的平方的一半。,ACBD，ACBD，AO CO BO DO 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分,ABO、 BCO 、 CDO、 DAO 都是等腰直角三角形，并且ABO BCO CDO DAO,做一做,现在请大家做一做这样一个实验：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？,2、周长为20cm的正方形

6、,边长是 对角线长是 面积是 。,1）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。 2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。,自我检测,1、下列说法对吗？,5,25cm2,3、如图，有 个等腰直角三角形,8,解：四边形ABCD是正方形 AB BC 2cm，ABC 90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等,练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形 的周长、对角线长和正方形的面积。,边长AB2cm 周长C4AB8cm,练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm,解：四边形ABCD是正方形 AB BC，ABC90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等,1、正方形的面积等于边长

7、的平方。 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。 3、正方形的周长等于边长的4倍。,在RtABC中，,求: 它的边长和面积。,练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC 上，且BE DF，AC与BC相交于O点，EF 与AC相交于P点 求证：EF AC，EF BD,证明： 四边形ABCD是正方形 BC CD 正方形的四条边都相等 BE DF EC FC AC平分BCD 正方形的每条对角线平分一组对角 EF AC AC BD （正方形的对角线互相垂直） EF BD,矩形、正方形（2）,4、判断。 （1）正方形一定是矩形。（ ） （2）正方形一定是菱形。（ ） （3）菱形一定是正

8、方形。（ ） （4）矩形一定是正方形。（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（ ）,快速反应,矩形、正方形（2）,1、在下列性质中，平行四边形具有的是_，矩形具有的是_，菱形具有的是_，正方形具有的是_。 （1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。,自主学习,矩形、正方形（2）,2、正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为_.,自主学习,矩形、正方形（2）,3、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF. （1）AE与BF相

9、等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。,自主学习,尝试练习：,（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。,尝试练习：,（2）如图，正方形ABCD中，AC交BD于O，点M、N分别在AC、BD上，且OM=ON， 求证：BM=CN。,如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,应用举例：,已知：如图点A 、 B 、 C、D分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD 求证：四边形ABCD是正方形,、由已知正方形证三

10、角形全等； 、证得菱形； 、再证直角； 、是正方形,证题思路分析,上一页,例1 已知：如图，在正方形ABCD中，AA=BB=CC=DD 。 求证：四边形ABCD是正方形。,证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA,又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CD,A=B=C=D=90 AADBBACCBDDC,四边形ABCD是菱形,又ADA=BAB， AAD+ADA=90 AAD+BAB=90 ,DAB=180（AAD+BAB）=90 四边形ABCD是正方形。,例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。 求证：四边形EFGH是正方形,A D,H,B C,F,E,G,证明：ADBC，AF、BH是角平分线 AFBH 同理 BHCH CHDF DFAF,HEF=EFG= FGH=GHE=90四边形EFGH是矩形,A,B,C,D,E,F,G,H,AF平分BAD BAF=DAF=45 同理ABH=CBH=45 BCH=DCH=45 CDF=ADF=45,DAF=CBH AD=BC ADF=BCH AFDBHC（ASA） AF=BH,BAF=ABH AE=BE EH=