总体特征数的估计(均值、方差、标准差)

1、总体特征数的估计,立发中学 高二数学备课组,中位数：把一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）,知识回顾,众数：一组数据中出现次数最多的数据,众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的量，众数考查各数据出现的频率，它的大小只与这组数据中的部分数据有关；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。,情境一:,某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取了10株，分别测得它们的株高如下（单位：厘米）：,甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42,乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 4

2、0,分析：,欲比较哪种玉米苗长得高，可以比较一下它们的平均高 ！,反映了总体的 某种特征,总体特征数,30,31,总体特征数：,通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数,如何反映总体的特征数？,用样本的特征数估计总体的特征数！,平均数及其估计,情境二:,在利用单摆检验重力加速度的实验中，全班同学在相同的条件下进行测试，得到下列数据（单位：m/s),9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32,9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94,9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.

3、90,怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？,平均数,为什么呢？,问题转化为：,实验结果测得一组数据为,用 作为重力加速度“最理想的”近似值，依据是什么呢？,算术平均数,=,=,读作： 平均,处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差（偏差）最小、设近似值为x，则它与n个实验值 ai（i1，2，3，n）的离差分别为 x-a1,x-a2,x-an,平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小。,称为这n个数的 平均数或者均值,例1 某校高一年级的甲乙两个班级（均为50人）的数学成绩如下（总分150），试确定这次考试中，哪个班的数学成绩更好一些 .,甲班,乙班,甲

4、班均分,乙班均分,思考,某公司内部结构以及工资分布：,某公司有经理1人，另有6名管理人员，5名高级技工，10名工人和10名学徒，现需要增加一名新工人。小张前来应聘，经理说：“我公司报酬不错，平均工资每月1695元。”小张工作几天后找到经理说：“你欺骗了我，我问过其他工人，每月一个人的工资不超过1500元，平均月工资怎么能是1695元呢？”经理拿出如下表所示的工资表说：“你看，平均月工资就是1695元。”,在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗？为什么？,总体月平均数不能反映工人的月工资水平，因为公司中少数人的月工资额与大多 数人的月工资额差别较大，这样导致平均 数与中位数的偏

5、差较大，所以月平均数不 能反映这个公司工人的月工资水平，而应 该应用中位数或众数来反映工人的月工资 水平,在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗？为什么？,例2：由下表计算学生日睡眠时间,例3,高一（1）班学生年龄统计：（班级共有43人）其中有20人18岁，13人17岁，7人16岁，3人15岁，求该班级的平均年龄。,分析,在班级年龄序列中18出现了20次， 17出现了13次，16出现了7次，15出现了3次,解：,“加权平均数”,15,加权平均值,（用频率计算平均值）,一般地，若取值为 ， 出现的次数分别为 ，设频率为,则其加权平均数为,其中,例4：由某单位年收入表试估计该单位

6、职工 的平均年收入,方差与标准差,情境一:,某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取了10株，分别测得它们的株高如下：,甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29,乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62,问：,哪种玉米苗长得高？,哪种玉米苗长得齐？,怎么办呢？,甲,37（最大值）,29（最小值）,8,乙,66（最大值）,11（最小值）,55,极 差,甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29,乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62,极差：,一组数据的最大值与最小值的差,极差越大，数据越分散，越不稳定

7、,极差越小，数据越集中，越稳定,极差体现了数据的离散程度,如果甲乙两组数据的集中程度差异不大时，怎么办呢？,我们可以考虑每一株的高度与平均高度的离差,离差的平方和越小，长的越齐,考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是方差和标准差。,设一组样本数据 ，其平均数为 ，则,称s2为这个样本的方差，,称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差,即,它的算术平方根,样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差； 样本方差的算术平方根叫做样本标准差。,因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们用标准差来刻画一组数据的稳定 程度更好一些,方差和标准差的意义

8、： 描述一个样本和总体的波动（离散程度）大小的特征数，标准差大说明波动大.,极差、方差与标准差的区别和联系：,都是用来描述数据的离散程度，其中极差是数据最大值与最小值的差，反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感。方差反映一组数据围绕平均数波动的大小，标准差是以样本数据为单位表示波动幅度。,例1：从高一（1）班的一次数学测验抽取一小组成绩如下（保留整数）：,85 90 80 80 85 75 100,计算这组样本数据的极差、方差和标准差.,例2甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。,例3为了保护学生的视力，教室内的日光灯在 使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计 这种日光灯的平均使用寿命和标准差。,1、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数 如下： 9.4，8.4，9.4，9.9，9.6