信号与系统简明教程教案第5章.ppt

1、第五章 连续信号与系统的s域分析,频域分析以虚指数信号 为基本信号，求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。但也有不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。 （2）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。,为何引入系统的复频域分析？,为何引入系统的复频域分析？,系统函数 H(s),系统的时域特性 h(t),系统的频域特性 H(jw),系统的稳定性,系统的模拟,系统的设计,系统的复频域分析可以更全面地描述系统的特性，弥补了系统时域与频域描述的

2、不足。,第五章 连续系统的s域分析,频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。 本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,第五章 连续系统的s域分析,第五章 连续系统的s域分析,5.1 引言 5.2 拉普拉斯变换 一、单边拉普拉斯变换的定义 二、单边拉普拉斯变换的性质 三、单边拉普拉斯逆变换 5.3 连续线性时不变系统的S域分析 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 5.4 系统函数H(s) 一、系统

3、函数的定义与求法 二、系统的S域框图 三、系统函数的零极点 四、系统函数的零极点与时域特性 五、系统函数的零极点与频域特性 六、系统的因果性与稳定性,法国数学家、天文学家。1749年生于诺曼底，1827年卒于巴黎。家境贫寒，靠邻居资助上学，显露数学才华。1785年当选为法国科学院院士。1816年成为法兰西学院院士，次年任该院院长。主要研究天体力学和物理学，认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新方法。 主要成就是：在天体力学阐述了天体运行、地球形状、行星摄动、月离理论和三体问题等等，引入著名的拉普拉斯方程在概率的分析理论（1812）中总结了当时整个概率论的研究，论述了概

4、率在选举、审判调查、气象等方面的应用，导入拉普拉斯变换等。,拉普拉斯（Laplace,1749-1827）,第五章 连续系统的s域分析,5.2 拉普拉斯变换,1、从傅里叶到拉普拉斯变换,有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f(t) e-t=,Fb(+j)= f(t) e-t=,令s = + j,d =ds/j，有,一、单边拉普拉斯变换的定义,5.2 拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换对,Fb(s)称为

5、f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。,2、收敛域,只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。,5.2 拉普拉斯变换,例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。,收敛域,收敛边界,5.2 拉普拉斯变换,例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。

6、 收敛域如图所示。,5.2 拉普拉斯变换,例3 双边信号求其拉普拉斯变换。,求其拉普拉斯变换。,解,其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),仅当时，其收敛域为 Res的一个带状区域，如图所示。,5.2 拉普拉斯变换,例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),解,Res= 2,Res= 3, 3 2,可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,5.2 拉普拉斯变换,通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻

7、为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为,称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Res ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,3、单边拉氏变换,简记为F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s),5.2 拉普拉斯变换,4、常见函数的拉普拉斯变换,1 ）(t) 1， (t) s -,2）(t)或1 1/s ， 0,3）指数函数es0t , Res0,cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ,sin0t = (ej0t e-j0t )/2j ,5.2 拉普拉斯变换,4）t (t) 1/s2 ， 0 5）矩形脉冲信号,5.2 拉普拉斯变

8、换,5、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； 则 F(j)=1/( j+2),5.2 拉普拉斯变换,（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，,如f(t)= (t)F(s)=1/s,= () + 1/j,（3）0 0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变换不存在。,5.2 拉普拉斯变换,二、单边拉普拉斯变换的性质,若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(

9、s) Resmax(1,2),例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0,2、尺度变换,若f(t) F(s) , Res0，且有实常数a0 ， 则f(at) ,Resa0,1、线性性质,5.2 拉普拉斯变换,例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =,求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。,解：,y(t)= 4f(0.5t),Y(s) = 42 F(2s),5.2 拉普拉斯变换,3、时移（延时）特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0,与尺度变换相结合,f(at-t0)(at-t0),例1:求如图

10、信号的单边拉氏变换。,解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1),F1(s)=,F2(s)= F1(s),5.2 拉普拉斯变换,例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s),解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2),f1(0.5t) 2F1(2s),f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2s,f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s),例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?,5.2 拉普拉斯变换,例3 周期信号fT(t)的拉普拉斯变换,特例：T(t) ,1/(1 e-sT),思考：,5.2 拉普拉

11、斯变换,4、复频移（s域平移）特性,若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=,求e-tf(3t-2)的象函数。,解：e-tf(3t-2) ,例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?,解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4),5.2 拉普拉斯变换,5、时域的微分特性（微分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-),f(n)(t)

12、 snF(s) ,若f(t)为因果信号，则f(n)(t) snF(s),例1:(n)(t) ?,例2:,例3:,5.2 拉普拉斯变换,6、时域积分特性（积分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则,例1: t2(t)?,f(t)是因果信号,5.2 拉普拉斯变换,例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s),解：对f(t)求导得f(t)，如图,由于f(t)为因果信号，故,f(0-)=0,f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s),结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则 f(t) Fn(s)/sn 注意 P223,5.2 拉普拉斯变换,7、卷积定理,时域卷

13、积定理 若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),复频域（s域）卷积定理,例1：t (t) ?,例2：已知F(s)=,5.2 拉普拉斯变换,8、s域微分和积分,若f(t) F(s) , Res0, 则,例1：t2e-2t(t) ? e-2t(t) 1/(s+2),t2e-2t(t) ,5.2 拉普拉斯变换,例2：,例3：,5.2 拉普拉斯变换,9、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理,设函数f(t)不含(t)及其各阶导

14、数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式）， 则,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则,5.2 拉普拉斯变换,例1：,例2：,5.2 拉普拉斯变换,三、单边拉普拉斯反变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合,若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,5.2 拉普拉斯变换,由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函

15、数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。,部分分式展开法,若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为,式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。,5.2 拉普拉斯变换,（1）F(s)为单极点（单根）,例1:,5.2 拉普拉斯变换,5.2 拉普拉斯变换,例2:,5.2 拉普拉斯变换,5.2 拉普拉斯变换,特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = j),K2 = K1*,f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t),若写为K1,2 = A jB,f1(t)= 2e-

16、tAcos(t) Bsin(t) (t),5.2 拉普拉斯变换,例3,5.2 拉普拉斯变换,5.2 拉普拉斯变换,例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。,解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1j1，故,K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(/2) ,K4=K3*=(1/2)e-j(/2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j=,K6=K5*,5.2 拉普拉斯变换,（2）F(s)有重极点（重根）,若A(s) = 0在s =

17、p1处有r重根，,K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1,5.2 拉普拉斯变换,举例:,5.2 拉普拉斯变换,5.2 拉普拉斯变换,5.3 连续线性时不变系统的S域分析,常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。,思路：用拉普拉斯变换微分特性,若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j )(t) s j F(s),5.3 连续线性时不变系统的S域分析,例1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t)

18、 = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)，求系统的全响应y(t)。,解： 方程取拉氏变换，并整理得,y(t)， yzi(t)， yzs(t),s域的代数方程,Yzi(s),Yzs(s),5.3 连续线性时不变系统的S域分析,y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) +,yzi(t),yzs (t),暂态分量yt (t),稳态分量ys (t),若已知y(0+)=1，y(0+)= 9,Yzi(s),Yzs(s),5.3 连续线性时不变系统的S域分析,5.4 系统函数H(s),系统函数H(

19、s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,yzs(t)= h(t)*f (t),H(s)= L h(t),Yzs(s)= L h(t)F(s),一、系统函数的定义与求法,5.4 系统函数H(s),例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,解,h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t),微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t),s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s

20、) = 2sF(s)+ 8F(s),取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t),5.4 系统函数H(s),二、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元,5.4 系统函数H(s),X(s),s-1X(s),s-2X(s),例3 如图框图，列出其微分方程,解 画出s域框图,s-1,s-1,F(s),Y(s),设左边加法器输出为X(s)，如图,X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s),s域的代数方程,Y(s) = X(s) + 4s-2X(s),微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t

21、),再求h(t)?,5.4 系统函数H(s),总结：分析连续系统的方法,三、系统函数的零、极点,LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即,A(.)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，m称为系统函数H(.)的零点。,将零极点画在复平面上 得零、极点分布图。,例,5.4 系统函数H(s),例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。,解：由分布图可得,根据初值定理，有,5.4 系统函数H(s),四、系统函数的零极点与时域特性,冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。,下面讨论H(s)极点的位置与其时域响应的函数形式。

22、,所讨论系统均为因果系统。,1连续因果系统,H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。,（1）在左半平面,若系统函数有负实单极点p= (0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t),5.4 系统函数H(s),(b) 若有一对共轭复极点p12=-j，则A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t),(c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其响应为 Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1),以上三种情况：当t时，响应均趋于0。暂态分量。,（2）在

23、虚轴上,(a)单极点p=0或p12=j， 则响应为K(t)或Kcos(t+)(t)-稳态分量,(b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+2)r，其响应函数为Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数,5.4 系统函数H(s),（3）在右半开平面 ：均为递增函数。,综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。,H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。,H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。,H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。 即当t时，响应均趋于。,5.4 系统函数H(s),5.4 系统函数H(s),五、系统函数的零极点与频率特性,1、连续因果系统,若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)也收敛，有H(j)=H(s)|s= j ， 下面介绍两种常见的系统。,（1）全通函数,若系统的幅频响应| H(j)|