量子力学3-1.ppt

1、第三章 量子力学中的力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、速度、动量、角动量、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描 述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一 个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了 一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。,本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设：力学量用线性厄密算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示；

2、三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。 本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态 及力 学量概率态 的区别。,3.1 表示力学量的算符,一、力学量用算符表达,算符是作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号，如,3.1-1,就称为算符。,3.1-3,3.1-4,动量的直角坐标分量式为,根据上一章的学习，如 我们可看出，量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式,与经典力学量对应的量子力学中的算符形式：,另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对应的算符可用动量的对应关系得出，例如动能算符的表达

3、式：,除了位置和动量以外，其中一类以坐标为函数的力学量, 其量子力学所对应的算符形式不变。如势能 和作用力 。,体系的能量跟哈密顿算符对应,3.1-5,二、本征值和本征函数,当力学量算符 作用在波函数 上，其结果是 同一个函数乘以一个常量时：,是力学量A 取确定值 时的本征态,称上式为算符 的本征值方程。,是力学量A的一个本征值。,由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的可能取值。,3.1-2,三、力学量算符表达的规则,如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表达式F(r, p)中将p换为算符 而得出，即,3.1-6,例如，粒子相对于某点的角动量,

4、其角动量算符为,3.1-7,四、基本假定（根据上章中哈密顿算符本征态、本征值）,如果算符 表示力学量F，则体系处于 的本征态时，力学量F有确定值，它就是 在态中的本征值。,五、厄密算符 力学量算符必须是 线性厄密算符。,* 厄密算符的本征值必为实数。,* 厄密算符的平均值必为实数。,* 当出现简并时，可以证明：总可以适当地线性组合简并态，使之彼此正交。,线性厄密算符的性质：,* 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。,若算符满足下列等式,称 为厄密算符。,3.1-8,证明厄密算符的本征值是实数,设厄密算符满足,即,可见 是实数,验证3.1-8式，例如：对于动量算符有,由3.1-8式 可得

5、,请自己验证坐标算符、能量算符,3.2 动量算符和角动量算符,1. 动量算符,本征方程,3.2-1,分量方程,动量本征值方程的解：,C为归一化常数,可以看出，取 ， 归一化为 函数，即,它乘上 就是 的单色平面波，在量子力学中，平面波代表粒子有确定的动量、在空间各处出现的几率相同的状态。,不能归一化为1，是因为其本征值可以取任意值，组成连续谱的缘故。,实际问题中，需要求动量本征值时，常需要把连续本征值变为分立本征值来计算，最后再变为连续本征值。例如，设想粒子被限制在长L为的正方形箱中，如图：,要求波函数在相对的箱壁上对应点具有相同的值，称为周期性边界条件。这样，动量的本征值就有连续谱变为分立的

6、。,在点 和点 值应相同，即,方程的解为,同理可得,3.2-6,3.2-7,3.2-8,式中，n可取零或正负整数。 时，本征谱由分立变为连续。,加进周期性边界条件后，动量本征函数可归一化，其常数为,容易证明,箱归一化。,角动量算符的表达式：,2. 角动量算符,3.2-10,角动量算符的模方定义为：,3.2-11,3.2-12,利用求导可分别求出,即可得出,3.2-13,代入3.2-10可得,3.2-14,代入3.2-11可得,3.2-15,的本征方程可写成,3.2-16,或,3.2-17,是 的本征函数，本征值为,为使 在 变化的整个区域 内有限，须有,3.2-18,是球函数，即,3.2-19,为缔合勒让德(Legendre)多项式， 为归一化常数,由归一化条件,3.2-20,可得,3.2-21,的本征方程可写成,3.2-22,的本征值是量子化的,l 表征轨道角动量大小称为角量子 数,m表征轨道角动量的空间取向称为磁量子数,由3.2-19可知，对于一个l值，m可取(2l+1)个值，故对于,的一个本征值，有(2l+1)个不同的本征函数Ylm,简并：对应于一个本征值有多个本征函数的情况,简并度：对应于一个本征值的本征函数的数目,的本征值是(2l+1)度简并的,根据3.2-14，有,3.2-23,角动量分量的本征值,常称l=0的态为s态，l=1,2,3