《二次函数的图象和性质》课件2.ppt

1、5.4 二次函数的图象和性质,第一课时,知识回顾,一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数.,(1)列表,(3)连线,(2)描点,2. 画函数图象的主要步骤是什么？,1. 二次函数的定义,3. 一次函数的性质,一次函数 y = kx+b (k、b为常数，且 k0)中，当 k0 时，y 随 x 的增大而；当 k0 时，y 随 x 的增大而.,增大,减小,知识讲解,请你画出二次函数 y=x2 的图象.,(1) 观察 y = x 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y值，完成下表：,0,0,9,4,1,9,4,1,3,2,1,-3,-2,-1,(

2、2) 在直角坐标系中描点：,(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x 的图象.,议一议,对于二次函数 y=x 的图象.,(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.,(2) 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？,抛物线,图象与 x 轴有交点. 交点坐标是 (0，0),(3) 当 x0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x0 时呢？,x0 时，y 随 x 的增大而减小.,x0 时，y 随 x 的增大而增大.,(4)当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？,当 x=0 时，y 的值最小. 最小值是 0.,因为抛物线上的最低点坐标是 (0，0 )

3、,(5) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.,图象是轴对称图形. 它的对称轴是 y 轴.,对称点： (-3，9)与(3，9)关于 y 轴对称；(-2，4)与(2，4)关于 y 轴对称,总结新知,函数 y=x2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y 轴对称.,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.,二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？与同伴进行交流.,做一做,(2)在直角坐标系中描点：,(3) 用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=-x 的图象.,解

4、：(1) 列表：,0,0,-9,-4,-1,-9,-4,-1,3,2,1,-3,-2,-1,(1)图象与 x 轴交于原点(0，0). (2)y0. (3)当 x0时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小. (4)当 x=0时，y最大值=0. (5)图象关于 y 轴对称.,议一议,说说二次函数 y=-x2 的图象有哪些性质,与同伴交流.,知识拓展,(1)抛物线 y=2x2 的开口方向是怎样的？ (2)抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？ (3)当x为何值时, y 随着 x 的增大而增大； 当x为何值时, y随着 x 的增大而减小. (4)函数 y 有最大值还是

5、最小值？为什么？,1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象 回答下列问题，,(4)因为抛物线开口向上，所以函数 y 有最小值.,(1)抛物线 y=2x2 的开口 方向是向上的.,(2)抛物线 y=2x2顶点 坐标为(0，0),对称轴 为y轴.,(3)当x0时,y随着x的增大而增大； 当x0时,y随着x的增大而减小.,(1)y=ax2的图象是一条抛物线.,(2)其顶点坐标是(0，0).,(3)对称轴是y轴(也可写作直线x=0).,(4)当 a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下.,归纳： y=ax2(a0)的图象的特征,2.二次函数 y=x2 的性质,(2) 顶点坐标与对称轴.,(1)位置与

6、开口方向.,(3)增减性与最值.,小结,1.二次函数 y=x2 图象的形状.,5.4 二次函数的图象和性质,第二课时,知识回顾,函数y=x和y=-x的图象,抛物线,抛物线,向上,向下,y 轴,(0，0),y 轴,(0，0),y=2x,y=-2x,二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？,动手验证一下你的想法.,探究,你是怎么想的？,y=2x2,y=2x2+2,y=2x2-2,二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位,解析,二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位,探究,二次函数y=-3x2+ , y=-3

7、x2- 的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？,解析,二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=2x2的图象向上平移 个单位,二次函数y=-3x2- 由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位,二次函数y=ax2 (a0) 的图象与y=ax2+c (a0) 的图象有什么异同？,探究,y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的. 当c0 时，向上平移c个单位； 当c0 时，向下平移c个单位.,抛物线,a0向上 a0向下,y轴,(0，0),抛物线,a0向上 a0向下,y轴,(0，c),y=ax及y=ax+c (a0) 的图象和性质,知识讲解,课堂练习,1. 将抛物线 y=-x2

8、向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ). A. y=(x+2)2 B. y=-x2+2 C. y=-x2+2 D. y=-(x-2)2,A,2.在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2-1 与 x 轴的交点的个数是( ) A3 B2 C1 D0,B,3坐标平面上有一函数y=24x248的图象，其顶点坐标为( ) A. (0，2) B. (1，24) C. (0，48) D. (2，48),C,二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a0)的图象的关系,y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当 c0 时，向上平移c个单位; 当 c0 时，向下平移c个单位.,课堂小结,5.4

9、 二次函数的图象和性质,第三课时,知识回顾,1. 函数 的图象的顶点坐标是 ；开口方向是 ；最 值是 .,(0，3),小,向上,3,2. 函数y=-2x2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.,y=-2x2,上,3,3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_的图象.,y=-3x2-2,在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1) y=2x2 (2) y=2(x-1)2,探究,解：,(1) 完成下表：,观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？,(2) 在图中画出y=2x2与y=2(x-1)2的图象.,y=2(x-1)2,思考：它们的图象 之间有什么关系？,议

10、一议,(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？,二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位得到的.,（2） 二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,开口方向： 向上,对称轴： 直线 x=1,顶点坐标： (1，0),x=1,(3) 二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？,当x1时，y的值随x值的增大而增大；,当x1时，y的值随x值的增大而减小.,(4)你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？

11、,二次函数y=2(x+1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位得到的.,y=2(x+1)2,二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.,想一想,由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？,由二次函数y=2x2的图象向下平移 个单位长度可得二次函数y=2x2- 的图象.,由二次函数

12、y=2x2的图象向左平移 3 个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象.,由二次函数y=2x2的图象先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2- 的图象.,归纳总结,二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.,一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标

13、如下表所示：,例1 试讨论二次函数 的性质.,解：由表达式可知，它有以下性质： （1）图象是抛物线，开口向下； （2）对称轴为直线x=-3； （3）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）； （4）当x-3时，函数随x的增大而减小.,例题解析,练一练,1.对于二次函数y=-3(x+2)2. (1) 它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？,二次函数y=-3x2的图象向左平移 2个单位长度得到函数y=-3(x+2)2的图象.,二次函数y=-3(x+2)2的开口方向向下、对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2，0).,对于二次函数

14、y=-3(x+2)2. (2) 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？,当x-2时，y的值随x值的增大而增大； 当x-2时，y的值随x值的增大而减小.,向上,直线x=h,(h，k),向下,直线x=h,(h，k),1. y=a(x-h)2+k的图象的特征.,2. y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.,课堂小结,5.4 二次函数的图象和性质,第四课时,二次函数 y = -2 (x-3)2+5 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小. 它是由二次函数

15、 y=-2x2 先向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到的.,向下,直线 x=3,(3，5),3,大,5, 3,3,右,3,上,5,知识回顾,二次函数 y =a(x-h)2+k (a0) 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小.,向上,直线 x=h,(h，k),h,小,k, h, h,二次函数 y=a (x-h)2+k (a 0) 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当 x=时，y 有最值是；当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小.,向下,直线 x=h,(h，k),h,大,k,

16、h,h,我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的 二次函数的图象和性质，你能研究二次 函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？,合作交流,请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.,解： y=2x2-4x+5 =2(x2-2x)+5 =2(x2-2x+1-1)+5 =2(x-1)2-2+5 =2(x-1)2+3,知识讲解,求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.,解析,要求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为 y=a(x-h)2+k 的形式.,解： y=2x2-8x+7,=2(x2-4x)+7,=2(

17、x2-4x+4)-8+7,=2(x-2)2-1,因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2，-1).,求二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴和顶点坐标.,解：把二次函数 y=ax2+bx+c 的右边配方，得：,y=ax2+bx+c,=ax2+2 x+( )2-( )2+c,=a(x+ )2+,=a(x2+ x)+c,因此，二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=- ，顶点坐标为(- ， ).,求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式,探究,对于二次函数y=ax2+bx+c ，,对称轴为：直线 x=-,顶点坐标为(- ， ),1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (