《1.5.2汽车行驶的路程》课件.ppt

1、1.5定积分的概念 1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程,1.连续函数与曲边梯形的概念 (1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条 _的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数. (2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线_所 围成的图形(如图阴影所示).,连续不断,y=f(x),2.曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤 分割_取极限,近似代替,求和,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路 程.( ) (2)当n很大时，函数f(x)=x2在区间 上的值，只能用 ( )2近似代替.( )

2、 (3)mi=i2， =mi=30.( ),【解析】(1)错误.在求汽车行驶路程的问题中，分割的区间表示的是时间. (2)错误.可以用 上的任意一点处的函数值代替. (3) 正确. 答案：(1)(2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)将区间1，3进行10等分需插入_个分点，第三个区间是_. (2)做直线运动的物体的速度v=2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为_. (3)函数f(x)= _连续函数(填是或不是).,【解析】(1)插入9个分点，即可将区间10等分. 第三个区间是1.4，1.6. 答案：9 1.4，1.6 (2)由于做直线运动的物体的速度为v=2t(m

3、/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为直线t=0，t=3和v=2t 围成的三角形的面积： S= 323=9. 答案：9 m (3)因为f(x)= 的图象是两支，不是一条连续的曲线，故不是连续函数. 答案：不是,【要点探究】 知识点1 曲边梯形的面积 1.对连续函数与曲边梯形的说明 (1)连续函数：对于区间I上的连续函数y=f(x)，从图象上看即连续不断，从定义域上看，即自变量在I上取一切实数值，如幂函数y= 在R上不是连续函数，而在区间(-，0)，(0，+)上是连续函数. (2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.,2.求曲边梯形面积的思想及注意事项 (1)思想：利用无限逼近的思想方

4、法，“以直代曲”将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积，然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精确值. (2)注意事项： 在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分.,当把区间0，1n等分时，第i个区间左端点的函数值为f( )，右端点的函数值为f( ).可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高. 当n+时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值.,【微思考】 (1)在区间a，b上插入n个分点使其等分可得多少个小区间？区间长度为多少？ 提示：可得n+1个小区间；区

5、间长度为 (2)将曲边梯形进行分割时，是将哪些条边等分的？分割后的小曲边梯形是如何计算面积的？ 提示：将曲边和曲边所对的边进行等分，分割后的小曲边梯形面积是利用矩形面积近似代替其面积计算的.,【即时练】 1.在区间0，3内插入2 014个分点，则可得_个小区间，小区间的长度是_. 2.直线x=1，x=2，y=0与曲线y= (x0)围成曲边梯形，将区间1，2100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是多少？ 【解析】1.可得2 015个小区间，小区间长度为 答案：2 015 2.将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)=1， ，故面积=1 =0.01.,知识点2 汽车行驶的路程问题 求变速直

6、线运动的路程的方法 类似于“以直代曲”求曲边梯形的方法，“以不变代变”利用匀速直线运动路程的求法，求变速直线运动的路程.即将运动时间进行分割，在无限小时间段上变速可看成匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程.,【微思考】 (1)经过分割近似代替求和取极限，这样最后得到的路程是否是精确值？ 提示：是精确值. (2)为求变速运动的汽车在一小时内的运动路程，将一小时时间等分成100万份，然后以匀速运动方法求每份上的路程，再求和，这样得到的路程精确吗？ 提示：不精确，只要份数有限就是近似值.,【即时练】 汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将运动时间区间分割为200等

7、份，则汽车在第i个时间区间上的运动路程是多少？ 【解析】在第i个区间上的运动速度为( )2，运动时间为 ，所以路程,【题型示范】 类型一 曲边梯形面积的求法 【典例1】(1)在求由x=a，x=b(ab)，y=f(x)(f(x)0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入n-1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的是() A.n个小曲边梯形的面积和等于S B.n个小曲边梯形的面积和小于S C.n个小曲边梯形的面积和大于S D.n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定,(2)求由抛物线y=2x2与直线x=0，x=t(t0)，y

8、=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成n个小区间，则第i-1个区间为() (3)求直线y=0，x=1，x=2，曲线y=x2围成的曲边梯形的面积.,【解题探究】1.题(1)中每个小区间的长度是多少？ 2.题(2)中第i-1个小区间的长度为多少？ 3.题(3)中应该分割哪个区间？将区间分成多少等份？ 【探究提示】1.区间长度为 2. 3.应分割区间1，2，分成n等份.,【自主解答】(1)选A.n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故应选A. (2)选D.在0，t上等间隔插入n-1个分点，把区间0，t等分成n个小区间，每个小区间的长度均

9、为 ，故第i-1个区间为 ，故选D.,(3)分割： 在区间1，2上等间隔地插入n-1个点，将区间1，2等分成n个小区间： 记第i个区间为 (i=1，2，n)， 其长度为 分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn， 显然，,近似代替： 记f(x)=x2，当n很大，即x很小时，在区间 上，可以认为函数f(x)=x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间 上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有,SiSi=

10、f( )x=( )2 = (n2+2ni+i2)(i=1，2，n) 求和： 由可推知,从而得到S的近似值 SSn= 取极限： 可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，Sn= 趋向于S，从而有,【方法技巧】由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割.在区间a，b中等间隔地插入n-1个分点，将其等分成n个小区间xi-1，xi(i=1，2，n)，小区间的长度xi=xi-xi-1； 第二步：近似代替，“以直代曲”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值. 第三步：求和.将n个小矩形的面积进行求和得Sn. 第四步：取极限.当n时，SnS，S即为所求.,【变式训练】求由直

11、线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S. 【解析】(1)分割 在区间1，2上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：1， ， ， ， 记第i个区间为 (i=1，2，n)，其长度为x=,分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，则小区边梯形面积的和为,(2)近似代替 记f(x)= .当n很大，即x很小时，在区间 上，可以认为f(x)= 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f( ) 从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间 上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局

12、部小范围内“以直代曲”，则有SiSi=f( ) = (i=1，2，n),(3)求和 小曲边梯形的面积和 从而得到S的近似值SSn=,(4)取极限 分别将区间1，2等分成8，16，20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有 所以由直线x=1，x=2，y=0及曲线 围成的图形的面积S 为,【误区警示】解答此类题目易错点是：(1)求区间长度.(2)第i个区间的端点值.(3)忘记取极限.,【补偿训练】由直线x=1，y=0，x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) 【解析】选D.,类型二 变速直线运动路程的求法 【典例2】 (1)已知某物体运

13、动的速度为v=t，t0，10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为_. (2)汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度v(t)=-t2+5(单位：km/h)，问它在0t2(单位：h)这段时间内的路程S(单位：km)是多少？,【解题探究】1.题(1)中每个区间上围成的图形是什么图形？其面积如何求？ 2.题(2)中求变速直线运动物体的路程，需要通过几步解决？ 【探究提示】1.梯形，其面积用对应的矩形面积近似代替计算，求得近似值. 2.分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.,【自主解答】(1)分

14、割后的区间为0，1，1，2，2，3，9，10，每个区间上的面积分别为s1=11=1，s2=21=2，s10=101=10. 故路程的近似值为 答案：55,(2)分割 在区间0，2上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间： 记第i个区间为 (i=1，2，n)， 其长度为 把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作： S1，S2，Sn，显然，,近似代替 当n很大，即t很小时，在区间 上，函数v(t)= -t2+5的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 在每一个小时间段内“以匀速代变速”，则有SiSi= = = (i=1，2，n) (i),求和 由(i)得， 从而

15、得到路程S的近似值， SSn=,取极限 可以看到，当n趋向于无穷大，即t趋向于0时， 趋向于S，从而有,【延伸探究】在本例题(1)中，如果取每个小区间左端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为多少？ 【解析】每个区间上的面积分别为s1=01=0， s2=11=1，s10=91=9， 故路程的近似值为,【方法技巧】求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.,【变式训练】已知一质点的运动速度为v(t)=6t2+4(单位：m/s)，

16、求质点开始运动后5 s内通过的路程. 【解析】(1)分割 在时间区间0，5上等间隔地插入n-1个点，将区间等分成n个小区间0， ， ， ， ，5， 其中，第i(1in)个小区间为 ， 其区间长度为 每个小时间段内的路程记为s1，s2，sn.,(2)近似代替 根据题意可得第i(1in)个小时间段内的路程为 (3)求和 每个小时间段内的路程之和为,(4)取极限 当n时，s的极限值就是所求质点运动的路程， 即质点运动的路程为270 m.,【补偿训练】求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v=gt，求在时间区间0，t内物体下落的距离 【解题指南】 分割 近似代替 求和 取极限,【解析】(1)

17、分割：将时间区间0，t分成n等份 把时间0，t分成n个小区间 (i=1，2，n)， 小区间长度 ，在各小区间物体下落的距离记作 si(i=1，2，n) (2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变 速运动的路程 在 上任取一时刻i(i=1，2，n)，可取i使 v(i)= 近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个 小区间上自由落体t= 内所经过的距离可近似表示为si (i=1，2，n),(3)求和： (4)取极限： 即在时间区间0，t内物体下落的距离为 gt2.,【易错误区】因计算方法掌握不准导致曲边梯形面积计算错误 【典例】由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为_.,【解

18、析】如图，因为y=x2为偶函数，图象关 于y轴对称，所以所求图形的面积应为y=x2 (x0)与直线x=0，y=4所围成的图形面积 S阴影的2倍，下面求S阴影. y=x2， 由 y=4，得A点坐标为(2，4)，先求由直线x=0，x=2，y=0 x0 和曲线y=x2围成的图形的面积.,(1)分割 将区间0，2n 等分， 则x= ，取i= (i=1，2，n). (2)近似代替、求和,(3)取极限 所以S阴影= ，所以2S阴影= 即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为 答案：,【常见误区】,【防范措施】 1.准确理解曲边梯形的各边 一般地，曲边梯形的三条边为直线段x=a，x=b，y=0，第四条边为曲线段y=f(x)，这是运用分割、近似代替、求和、取极限求曲边梯形面积的标准位置图形.如本例中，由直线x=0，x=2，y=0和曲线y=x2围成的图形.,2.间接法求阴影部分的面积 对于不是标准位置的曲边梯形的面积，