《1.1.2 瞬时速度与导数》课件3.ppt

1、1.1.2 瞬时速度与导数课件3,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式： =_. (2)实质：_的改变量与_的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的_.,函数值,自变量,快慢,2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,平均变化率,某一点,3.导数的概念,f(x0),瞬时变化率,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与x值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，x，y 都不可能为零.( ),【解析】(1)正确.函数y=f(x)

2、在x=x0处的导数值是一个固定值，与x值的正、负无关，x值可正，可负. (2)错误.刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的是平均变化率. (3)错误.x不能为零，y可能为零. 答案：(1) (2) (3),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是_. (2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是_. (3)函数y=f(x)= 在x=-1处的导数可表示为_.,【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的增量为y=5-3=2，故增量之比是2. 答案：2 (2)函数f(x)=x2在x=

3、1处的瞬时变化率是 答案：2 (3)函数y=f(x)= 在x=-1处的导数可表示为f(-1)或 y|x=-1. 答案：f(-1)或y|x=-1.,【要点探究】 知识点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.对平均变化率的四点说明 (1)函数f(x)在x1处有定义. (2)x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即x=x2-x10，但x可以为正，也可以为负.,(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若x=x2-x1，则 y=f(x2)-f(x1)；若x=x1-x2，则y=f(x1)-f(x2). (4)在公式 中，当x1取定 值，x取不同的数值时，函数的平均变化率是

4、不同的；当x 取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的. 特别地，当函数f(x)为常数函数时，y=0，则 =0.,2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平 均变化率的“视觉化” (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1， f(x1)，P2(x2，f(x2)所在直线的斜率. (3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)， 在时间段t1，t2上的平均速度，即,【知识拓展】认识两个增量 正确理解平均变化率的概念，首先要把握好两个增

5、量.一是自变量的增量.习惯上用x表示x2-x1，即x=x2-x1.x看作自变量相对于x1的一个增量.二是函数值的增量y=f(x2)-f(x1).如上所说，令x=x2-x1，则y又可写为：f(x1+x)-f(x1)，此即函数值在x1处的增量.,【微思考】 (1)函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的大小与曲线y=f(x)在区间x1，x2上的“陡峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).,【即时练】 1.自变量x从x0变到x1时，函数值

6、的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间x0，x1上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化量 D.在区间x0，x1上的导数 2.函数y=x2-2x+3在x=2附近的平均变化率是_.,【解析】1.选A.当自变量由x0变化到x1时，自变量的“增量”为x1-x0，对应的函数值的“增量”为f(x1)-f(x0)，比值 为函数在区间x0，x1上的平均变化率故选A.,2.因为y=(2+x)2-2(2+x)+3-(22-22+3)=(x)2+2x， 所以 答案：x+2,知识点2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率及导数 1.对瞬时速度的两点说明 (1)瞬时速度即位移函数相对

7、于时间的瞬时变化率. (2)当t在变化中趋近于0时，比值 趋近于一个确定的常数，这时此常数称为t0时刻的瞬时速度.,2.对瞬时变化率的两点说明 (1)平均变化率与瞬时变化率的关系： 区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； 联系：当x趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值. (2)“x无限趋近于0”的含义： x趋于0的距离要多近有多近，即|x-0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.,3.对导数概念的两点说明 (1)当x0时，比值 的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若 的极限不存

8、在，则f(x)在点x0处不可导或无导数. (2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f(x0)= 或f(x0)= 4.导数的物理意义 不同的物理量有着不同的物理意义.例如，变速直线运动路程s=s(t)的导数，就是速度，即s(t0)=v(t0).我们也常说路程函数s(t)对时间的导数就是速度.,【微思考】 (1)匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗？ 提示：因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为零，所以瞬时速度和平均速度相等. (2)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？ 提示：不一定，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度，当物体在某一时间段做匀速直线运

9、动时，可以反映.,【即时练】 1.已知f(x0)=a，则 的值为( ) A-2a B2a Ca D-a 2.物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)= 3t2+t我们计算在t时刻的附近区间t，t+t内的平均速 度 =_，当t趋近于0时，平均速度 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t时刻的瞬时速度 为_,【解析】1.选B.若f(x0)=a， 则 所以,2.因为物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t，所以在t时刻的附近区间t，t+t内的平均速度 所以s(t)=6t+1. 答案：6t+1+3t 6t+1,【题型示范】 类型一 求函数的平均变化率 【典例1

10、】(1)(2014衡水高二检测)函数y=x2+1在1，1+x上的平均变化率是() A.2B.2xC.2+xD.2+(x)2 (2)求y=2x2+1在x0到x0+x之间的平均变化率，并求x0=1，x= 时函数的平均变化率的值.,【解题探究】1.题(1)中函数y=f(x)在1，1+x上自变量与函数值的改变量各是什么？ 2.题(2)中，y的表达式是什么？ 【探究提示】1.自变量的改变量x=(1+x)-1，函数值的改变量y=f(1+x)-f(1). 2.y的表达式为y=f(x0+x)-f(x0).,【自主解答】(1)选C. (2)当自变量从x0变到x0+x时，函数的平均变化率为 当x0=1，x= 时，

11、函数的平均变化率的值为41+2 =5.,【方法技巧】 1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量x=x2-x1. 第二步，求函数值的增量y=f(x2)-f(x1). 第三步，求平均变化率 2.求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用 的形式.,【变式训练】设函数f(x)=x2-1，求： (1)当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x. (2)当自变量x由1变到1.1时，函数的增量y. (3)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率. 【解析】(1)x=1.1-1=0.1. (2)y=(1.12-1)-(12-1)=0.21. (3),【补偿训练】已知自由落体运

12、动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=f(t)= gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2). 【解题指南】先求出s，再求出 即为各段时间内的平均速度.,【解析】设t=(t+d)-t指时间改变量，s=f(t+d)-f(t)指位移改变量 则s=f(t+d)-f(t)= g(t+d)2- gt2=gtd+ gd2， 所以t从3秒到3.1秒的平均速度 =29.89(m/s)； t从3秒到3.001秒的平均速度 =29.404 9(m/s)； t从3秒到3.000 1秒的平均速度 =29.400 49(m/s).,类型二 求瞬时速度 【典

13、例2】(1)以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)=v0t- gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_. (2)某物体的运动方程为s=2t3，则物体在第t=1时的瞬时速度是_.,【解题探究】1.题(1)中运动物体的瞬时速度与平均速度有什么关系？ 2.题(2)中s如何计算？ 【探究提示】1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极限. 2.s=2(t+t)3-2t3.,【自主解答】(1)因为s=v0(t0+t)- g(t0+t)2-(v0t0- gt02)=(v0-gt0)t- g(t)2， 所以 =v0-gt0- gt， 所以当t无限趋近于0时， 无限趋近于v0-

14、gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0. 答案：v0-gt0,(2)t=1时，s=2(1+t)3-213 =21+(t)3+3t+3(t)2-2 =2+2(t)3+6t+6(t)2-2 =2(t)3+6(t)2+6t 所以物体在第t=1时的瞬时速度是6. 答案：6,【延伸探究】若把题(1)中的“v0”改为“v0=20”，求物体在t=3时刻的瞬时速度. 【解析】因为s=20(3+t)- g(3+t)2-(203- 32g) =(20-3g)t- g(t)2， 所以 所以当t无限趋近于0时， 无限趋近于20-3g， 故物体在t=3时刻的瞬时速度为20-3g.,【方法技巧】 1.求运动物

15、体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量t和位移改变量s=s(t0+t)-s(t0). (2)求平均速度 (3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时， 无限趋近于常数v，即为瞬时速度. 2.求 (当x无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算. (2)求出 的表达式后，x无限趋近于0就是令x=0，求出结果即可.,【变式训练】一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 并说明它的意义(重力加速度为9.8 m/s2). 【解题指南】先求s，再求 ，然后求速度. 【解析】自由落体的运动公式是s= gt2(其中g是重力加速度)， s=s(3+t)-s(3)=4.9(3

16、+t)2-4.932 =29.4t+4.9(t)2， =29.4+4.9t. 所以 说明在第3秒附近小球以29.4 m/s的速率下降.,【补偿训练】(2014潍坊高二检测)有一个光滑斜面与水平桌面成角，设有一质点在t=0时，从斜面的顶点A处开始由静止状态自由释放，如图所示.如果忽略摩擦力，斜面的长度s=300cm，=65.求T=0.1，0.2，0.3，1.0s时质点的速度.,【解析】由于斜面的长度s=300 cm，=65，则质点在斜面上运动时，它的加速度a=gsin 65，又由位移公式s= at2 = gsin t2，取s=300，得： 所以在1秒时质点仍在斜面上运动，所以T=0.1，0.2，

17、0.3，1.0 s时质点的速度分别为：0.1gsin 65，0.2gsin 65，gsin 65.,类型三 求函数在某点处的导数 【典例3】(1)函数y= 在x=1处的导数为_. (2)(2014邢台高二检测)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3， 当t1=4，t=0.01时，求y和比值 求t1=4时的导数.,【解题探究】1.题(1)中，当x=1时，y等于什么？ 2.题(2)中y如何计算？计算 的值能不能将t=0直接代入 的化简式子中？ 【探究提示】1.当x=1时， 2.y=f(t1+t)-f(t1)；可以将t=0直接代入 的化简式子中进行计算.,【自主解答

18、】(1)y= 所以 y|x=1= 答案：,(2)y=f(t1+t)-f(t1)=3t12t+3t1(t)2+(t)3，故当t1=4，t=0.01时，y=0.481 201， =48.120 1. 3t12+3t1t+(t)2= 3t12=48， 故函数y=t3+3在t1=4处的导数是48，即,【方法技巧】 1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限.,2.瞬时变化率的变形形式 =f(x0).,【变式训练】若 则f(x0)等于_. 【解析】 =1， 所以f(x0)= 答案：,【补偿训练】求函数y=x- 在x=1处的导数 【解题指南】求 的极限时，要对 进行化简，确保x趋于0时 有意义. 【解析】因为y=(1+x)-