第三章_行列式B.ppt

1、第三章 行列式,3.1 行列式的概念 3.2 行列式的性质 3.3 行列式的计算 3.4 行列式的应用,我们为什么要学习行列式？,行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有极其广泛的应用。,行列式为什么应用如此广泛呢？,主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像判别式之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就可以知道方程是否有根，有实根还是虚根。类似地，当我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等等。,这一章的学习重点是什么呢？,行列式的计算，而运用行列式的性质可以大大地简化计算，故还必须熟练掌握行列式的基本性质。,3.1行列式的

2、概念,考虑一个二阶方阵,记,所确定的二阶行列式,(1),我们称(1)为二阶方阵,记为,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,记,（2）,我们称(2)为三阶方阵A所确定的三阶行列式.,考虑一个三阶方阵,三阶行列式的计算,对角线法则,橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例3.2.,解：,按对角线法则，有,下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广到n阶行列式情形.,为此我们给出余子式、代数余子式的定义。,定义：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n1阶行列式叫做元素 aij 的余

3、子式，记作 Mij . 把 Aij = (1)i+j Mij 称为元素 aij 的代数余子式,例如：,结论：因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,定义3.1.,n阶方阵,=,所确定的n阶行列式,代表一个由A中元素根据一定的运算关系所得的数.,=,当n=1时,当n=2时,=,=,=,当n2时,=,也可简记为,或,我们将行列式按第1行元素展开的定义式推广,得到行列式按任意行(或列)展开的定理.,定理3.1.,n阶行列式,=,等于它的任一行(任一列),的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和,即:,n 行列式可以按第i行元素展开:,

4、列展开：,阶行列式也可以按第,j,n,注意: 由此定理,在计算行列式的值时,可以按它的,任一行(或列)展开.为计算方便起见,我们一般选择,有较多0元素的行(或列)展开.,例3.3. 计算行列式,解：,按第一行展开，得,解：,注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得,例3.4.计算对角行列式,解：,例3.5.,计算n阶下三角行列式,解:,同样由n行列式定义,按第1行元素展开:,=,=,=,例3.6. 计算上三角行列式,解:,我们将行列式按第1列元素展开:,可以看到无论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结果均为为主对角线元素之积.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重

5、要工具.,例3.7.计算行列式,解：,3.2行列式的性质,当n 较大时,求n阶行列式值的计算量是很大的.一般地,我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算.,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式,记,行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是 对行成立的对列也同样成立,性质1：行列式与它的转置行列式相等,根据行列式的定义，有,性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号,例：,推论1：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明：互换相同的两行，有 D = D ，所以 D = 0 ,备注：交换第 i 行（列）和第 j 行（列），记作,备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：,

6、行变换：,列变换：,性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式,推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论3.对 n 阶行列式及数k, 有,例3.9.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零,证:,设A为n阶反对称矩阵，即,=,n为奇数,由性质1及性质3，有:,所以,推论4.若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零。,性质4：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 行列式关于该行（列）可分解为两个行列式,例：,则,例3.10. 计算行列式,解: 利用性质4把原行列式分成2个行列式之和:,性质5：把行列式的

7、某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,则,验证：我们以三阶行列式为例 记,备注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作,例3.11.,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角 形行列式，从而算得行列式的值,解：,作业：P65 3(2),4(2)(4),行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,互换行列式的两行（列），行列式变号,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行

8、列式不变,推论5. 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,关于代数余子式的重要性质,第i行的元素与相应第j行对应元素的代数余子式的乘积之和。,我们以3阶行列式为例.,在上式中把 a1k 换成 a2k (k = 1,2,3)，则,第i列的元素与相应第j列对应元素的代数余子式的乘积之和.,同理可得,例3.11. 设,则有：,对D1作运算 ，及 把D1化为下三角形行列式,设为,对D2作运算 ，及 把D2化为下三角形行列式,设为,回忆：,证明：,对 D 的前 k 行作运算 ， 则：,对 D 的后 n 列作运算 ， 则,证明：,对 D 的前 k 行作运算 ， 则

9、：,设n+m阶分块方阵,其中A,B分别为n,m阶方阵, 则:,与,性质6. 若n阶分块对角阵,，其中,为,阶方阵,则 :,定理3.2 若,均为n阶方阵，则,3.3 行列式的计算,我们可利用上节的性质5将行列式化成上(下)三角行列式,一.目标行列式法,来进行计算.,性质5.,将行列式的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,则行列式的值不变.,例3.12. 计算4阶行列式,解:,例3.13. 计算n阶行列式,解:,将第2,3,n列元素都加到第1列对应元素上去:,=,二.降阶法,我们也可以利用行列式的展开定理为了减少,计算量，通常先利用行列式的性质将行列式的某行,（列）化出较多的零元素，再按该行（列

10、）展开,例3.14.计算行列式,解:为了使D中的零元素增多，利用行列式性质，得:,三.(拆项)分裂行列式法,行列式的性质4也可以用来简化行列式的运算.,性质4.,若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，,则此行列式可表示为两个行列式的和即:,=,+,例3.15. 计算行列式,解: 利用性质4把原行列式分成2个行列式之和，是按照某行拆开，还是按照某列拆开？,四.数学归纳法,下面考察应用广泛的重要行列式:范德蒙行列式.,例3.15.证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式,其中,为满足,的所有,的乘积,证:我们对n使用数学归纳法 .,因此原恒等式在n=2时成立.,n=2时,假设原式对n-1

11、阶范德蒙行列式成立,下证原式对n阶范德蒙行列式也成立,中,从第n行开始，由下往上，下一行减去,上一行的,倍，得:,按第一列展开，得:,从第1列提取公因子,，第2列提取公因子,第 n-1列提取公因子,，就得:,上式右端的行列式是 n-1阶范德蒙行列式,由归纳假设可得:,五.递推法,很多情况下,n阶文字行列式直接计算比较困难,有时可以想办法得到,与,之间的关系式,进而利用递推的方法得到,的结果.,例3.16.计算n阶行列式,解:将行列式按第一列展开:,等式右端的第一个行列式与原行列式形式上完全一致,只是行列式的阶数低了一阶，设其为,则:,于是得到递推公式:,进一步得:,=,=,六.加边法,计算n阶

12、文字行列式往往比较困难,有时我们还可以,进行逆向思维,利用行列式按行(列)展开的思想将行列,式化为阶数更高的行列式后反而会柳暗花明.,例3.17. 计算n阶行列式,解: 利用加边法：,将原行列式加一行一列元素后得到新的n+1阶行列式:,显然这是一个范德蒙行列式. 于是:,而原行列式即D(x)中,的余子式，因此原行列式,的值为D(x)展开式中,的系数的相反数，即:,计算行列式的常用方法： (1) 利用定义、性质算得行列式的值； (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,（3）降阶法,（4）(拆项)分裂行列式法,（5）数学归纳法、递推法,（6）加边法,3.4 行列式的应用,行

13、列式在很多领域中都有着广泛的应用,本节仅,介绍其在矩阵理论和一类特殊线性方程组中的应用.,一.方阵可逆的充要条件,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵.,注意下标,结论： ，其中,定理：若| A | 0，则方阵 A 可逆，而且,元素 aij 的代数余子式 Aij 位于第 j 行第 i 列,利用第2节中行列式性质的推论5:,推论：若| A | 0，则 .,推论：若| A | 0，则 .,证明：若| A | 0，则 .,证明：若| A | 0，则 ,推论: 若n阶方阵,，其中,为,阶方阵,则 A可逆的充要条件为:,可逆此时:,例3.16：求3阶方阵 的逆矩阵.,解

14、：| A | = 1，,则,当n较大时,此方法计算量较大,推荐初等变换的方法.,作业：P65 4(1,7),7(2),9(2).,计算行列式的常用方法： (1) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,（2）降阶法,二.矩阵秩的刻画,第2章我们介绍过矩阵秩的概念，这里我们通过行,列式来刻划矩阵的秩.先引入矩阵的k 阶子式的概念.,定义. 设A 是一个,矩阵，在A中任取 k行、k列,位于这些行和列相交处的元素，按它们原来的相对位置,组成一个k 阶行列式，称为 A的一个k 阶子式,概念辨析： k 阶子式、余子式、代数余子式,与元素a12相对应的余子式,相应的代数余子式,矩阵 A 的

15、两个 2 阶子式：,矩阵 A共有 18个2 阶子式。,例如: A,相交处的元素构成的2阶子式：,取A的第2，3行和第1，3列,取遍A的所有3阶子式：,即：A有一个不为0的2阶子式,即：A的所有3阶子式全为0.,我们称D是A的一个最高阶非零子式，该子式的阶数是2.,另一方面，通过初等变换的方法可以算出A的秩为2 .即：矩阵A的秩等于矩阵 A的最高阶非零子式的阶数,事实上，这个结论对任何矩阵都是成立的.,定理3.4.设矩阵,.则,的充要条件是,A至少有一个r 阶子式不等于零,且A的所有r+1阶子式,（如果存在）全为零即: 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非 零子式的阶数。,矩阵 A 的秩就是 A 中非零子

16、式的最高阶数,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,例3.17：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例3.17：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：注意到矩阵 B 第 4 行元素都等于零，因此其4 阶子式全为零，同时 B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行， 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ,，因此 R(B) = 3 ,还存在其它3 阶非零子式吗？,回忆：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,例3.17：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：B 还有其它 3 阶非零子式，例如,三.克莱姆(Cramer)法则,下面我们应用行列式来讨论线性方程组的求解问题,( Gabriel Cramer 瑞士 1704-1752),定理3.5. (克莱姆法则)如果线性方程组:,的系数