电动力学-第2.4节.ppt

1、第二章 第四节,镜 象 法,求解泊松方程的难度,区域无自由电荷分布， 适用。,区域有自由电荷分布， 适用。,原则上，我们可以采用分离变量法求出拉普拉斯方程的通解，泊松方程为非齐次方程，其通解为对应的齐次方程（拉普拉斯方程）的通解非齐次方程对应的一个特解，,但是，如果所求解的问题不具备一定的对称性（求解区域、边界），势必引起从数学上列写边界条件困难（除球形边界、柱形边界、矩形边界外），要求出满足边界条件的微分方程的特解将更上难上加难。,在一般情况下，因为泊松方程的求解比较困难的(要么难度极大，要么解不出来)，特别是电荷分布对称性不明显或没有对称性。因此，我们有必要另外开辟求解静电场的方法。,在原

2、电荷和导体间的区域内的电场由原电荷和感应电荷共同产生。,在一般情况下，由于感应电荷分布的复杂性，直接计算合成场是困难的。但是，若原电荷是点电荷或线电荷，导体形状又较简单时，可采用镜像法计算该类问题的合成场。,一、镜象法的概念和适用条件,镜像法是用与原电荷相似的点电荷或线电荷代替实际导体上的感应电荷，来计算原电荷和感应电荷共同产生的合成电场，这些相似的电荷称为镜像电荷。,镜像电荷和原电荷共同产生的总电位(试探解)如果满足给定的边界上的边值，又在需求的场区域内满足原来的泊松（或拉普拉斯）方程，根据唯一性定理，所得的场解是唯一的，即试探解为唯一的正确的解！,1、镜象法的引入唯一性定理保证下可以不择手

3、段寻找求解方法,2、镜象法的基本问题,在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的,用镜像法求解边值问题的关键是在适当的位置找到定量的镜像电荷，换言之，就是确定镜像电荷的个数、大小、符号和位置。,3、镜像法及其基本思想,镜象法的定义,用研究区域外的假想点电荷来等效地代替导体界面上的面电荷（感应电荷）分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出研究区域的电势分布。,基本思想：,1）在电场作用下，导体（或介质）的表面要出现感应（极化）电荷，区域V内的电场是由V内的电荷的电场和面上的感应（极化）电荷电场迭加的结果。,2）在V外区域找到等效替代导体（介

4、质）面上的感应（极化）电荷贡献的电荷（这就是镜像电荷）。,3）V内（研究区域内）的电场就可以表示为V内电荷的电场与V外区域象电荷激发的电场的迭加。,4）正确性由唯一性定理保证。,镜像法不仅适用于静电场的边值问题，当然也适用于类似的磁场的边值问题，但是它只能解决相当有限的一类问题，诸如：,无限大导体(或介质)平面附近的点电荷、线电荷或线电流的场；,无限长圆柱导体附近有平行的线电荷、线电流或平行圆柱体的场；,导体球附件的点电荷的场等。,注意,1)镜像电荷必须放在研究的场域外。,2)放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介

5、电常数。,3)镜像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等。,4)镜象法所适应的范围是：,场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；,导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。,二、应用举例,b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；,用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ：,a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；,c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；,d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。,例题1 如图所示，接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求右半空间电势分布。,解 ：,分析,边界,(1)右半空间

6、，Q处在(0,0,a)点，其余点 。,从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷（镜像电荷）应在左半空间z轴上。,设电量为Q，位置为(0,0,a),因此，在右半空间任一点的电势为：,(2)由边界条件确定Q和a，然后求出求解区域的电势,对于任意的x、y，上式均需要得到满足，所以它的解是：,即,或,应该取哪一组解？（第II组，原因：像电荷不能位于求解区域内）。,所以，求解区域电势的表达式：,(3)讨论：,(a)导体面上感应电荷分布,(b)可见电荷Q产生的电场线全部终止在导体面上，它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半部完全相同。,Q,镜像法动画演示,(c)镜象法是很形象的：与Q位置对于导体

7、板镜象对称，故这种方法称为电象法(又称镜象法)，同学们只要与平面镜成像进行类比，就知道镜像法名称的来历了。,镜象法的图形与光路用此图比较,根据光的反射可找到Q的大小和位置，但注意区别：点电荷发出的电场线与点光源发出的光线传播路径是有区别的。,光学理论给我们的启发，看过哈哈镜的人会有这样的印象：平面镜内的象与物大小一样，凸面镜内的象比物小，凹面镜内的象比物大。,(d)求点电荷Q受到的作用力：,电荷元dq作用于Q的作用力,窄圆环电荷元dQ作用于Q的力,所以Q受到的力,这正好说明是源电荷Q与镜像电荷Q=Q的库仑力(吸引力)。,可证：,一点电荷置于两相交导体平面之中，若两平面的夹角为1800的约数，即

8、,则镜像电荷数是有限的,镜像电荷的总数为 。,镜像电荷需要根据界面镜像对称方法，轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。,此时，导体平面夹角内的电场等于N个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。,当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷数趋于无穷。,对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，两者大小相等、符号相反。,例题2 如图所示，真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心a（a R0）处有一点电荷Q，求接地导体球外空间各点电势。,解 ：,当点电荷Q置于导体球附近时，导体球表面感应出负电荷，球外任一点的电位应由点电荷Q和感应电荷共同产生。,采用

9、镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜像电荷Q必须取在导体球内，又因球对称性，镜像电荷必定和点电荷Q及球心在同一直线上。,这时，镜像电荷代替导体表面的感应负电荷，球外任一点的电位等效为有点电荷Q和镜像电荷Q共同产生。,由于导体接地，所以球内的电势为零。,导体球面上任一点P0的电势为零，由此边界条件有,即,设,有上式可知，必须找到一个b，是P0为球面上 任一点时，比值 均是 常数 。,如果按右式选择b：,即,则三角形QP0与三角形OP0Q相似，所以,求得镜像电荷Q的大小和位置：,可证明，镜像电荷Q等于导体球面上的总感应电荷量.,由于感应电荷在球面上分布是不均匀的，在靠近原电荷Q一侧的表面上

10、密度大一些，另一侧密度小一些，所以镜像电荷Q偏离球心，在靠近原电荷一边。,球外任一点P的电势：,P点由球心到P的距离R和OP对连线OQ的张角 决定。,由,得,讨论：,(1) ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。,(2) 球面感应电荷分布,总感应电荷为,即感应电荷的大小等于镜像电荷Q的大小。,(3)点电荷与导体球系统像电荷与球面镜成像,分析 ：,导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为有,的电荷移到地下去了。,导体不接地，可视为Q分布在导体面上。,(1)若导体球不接地,如果导体球不接地，则其电势不为零，而为一常数，但球面上感应的净电荷为零。,为满足导体表面感应净电荷为零的

11、边界条件，除在OQ连线的球内放置一镜像电荷Q外，还需加入另一个镜像电荷Q-Q，且原来球面是等势面，所以Q必须置于球心位置，以满足原来球面是等势面的边界条件,例3在上例的基础上,(1)若导体球不接地；(2)若导体球不接地,且带上自由电荷 。讨论球外区域电势分布情况。,所以导体球外任一点的电势应是这3个点电荷所产生电势的总和，即,球面的电势为,Q均匀分布球面上可使其等效于在球心的点电荷Q,(2)若导体球不接地，且带上自由电荷 。,边界条件：,球面为等势面（电势待定）；,导体球总电量为 。,接上一问的讨论，此时要保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。,球外电势由原电荷Q、接地的镜像电荷Q、位于球

12、心的与Q相反的感应电荷Q和位于球心的自由电荷产生。,球外电势由原电荷Q、接地的镜像电荷Q和位于球心的假想电荷(Q0-Q)这三个电荷共同产生的。,其中,原电荷Q受到的作用力等于距球心为b的镜像电荷Q对它的作用力与位于球心处的电荷(Q0-Q)对它的作用力之和。,设 ， ，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。,当 时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。,本节小结：,1、镜像法的理论基础：,唯一性定理只要研究区域的电荷分布和边界条件（电势条件或电势的法向导数条件）一定，则研究区域的电场唯一确定。,以唯一性定理为理论依据，用电像法求解静电场分布的实质是，在

13、所研究的区域外的适当位置，用实际上并不存在的“像”电荷来代替真实导体上的感应电荷或介质的极化电荷在求解区域场点所产生的电场。电像法实质上是一种等效方法。,2、镜像法的关键使用步骤,正确分析求解区域内电势满足的微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）、边界条件，尤其是边界条件的分析是确实像电荷的基础。,根据边界条件寻找像电荷的位置、电量(包括电性)。,由原电荷及像电荷，写出场点电势的解析形式并进行讨论，比如电场强度、电荷分布、电场力等。,同学们要能够利用上述方法求解一些典型性的静电场问题，这是本节的教学要求。,3、注意之点,（1）像电荷为什么不能放置在求解区域内？必须保证求解区域内电势的微分方程不变。

14、,（2）像电荷位置、电量大小、电性一定要基于正确分析边界条件的基础上来确定。,（3）对等效性的理解：1）等效性只局限在研究区域(求解区域)；2）不能同时考虑像电荷和感应电荷(极化电荷)在求解区域产生的效果，感应电荷(极化电荷)的效果已经使用像电荷来替代。,补充例1 在无穷大空间中充满介电常数为 和 的两种均匀电介质，其分界面为平面。设在介质 中放一点电荷Q，其所在位置距分界面为a，试求二介质中的电势分布。,解：,设 中电势为 ， 中 的电势为 ，并满足如下定解条件：,处理问题的方法是：,a) 求 空间的电势 时，设想将 半空间换成与 半空间一样，而以假想的电荷Q 来代替分界面上极化电荷对 半空

15、间的场的影响；,b) 求 半空间的电势 时，设想将 半空间换成 半空间一样，而以假想的电荷Q“来代替Q和分界面上的极化电荷对 半空间场的影响。,由此可见：,在x0的区域，空间一点的电势为,在x0的区域，空间任一点的电势为,由（5）式得,即有,故得,再根据电荷守恒守律：,Q=Q+Q (9),将（9）式代入（8）式，即有,要使该式成立，必有,b=c=a (10),再根据（4）式，则有,即,由此可见：,从而得到：,故最终得到x0区域电势为：,x0区域电势为：,分界面为介质时，镜象法与光路图比较：,根据光的反射可找到Q 的大小和位置；根据光的折射可找到Q的大小和位置，（但严格说来光线在不同介质内传播，其方向有所改变。这里仅仅是理想化的，根据实际问题类比思维）。,球外点电荷的镜像电荷的严格证明,球外空间一点的电势为,在b R0的区域，不论Q取任何值，