CAU 考研资料包 考研数学1st 概率论 试题 第八章

1、假设检验的基本原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生”“大概率事件在一次试验中几乎是必然发生的”。,假设检验的概念与思想,第八章 假设检验, 对总体参数或总体分布的一种看法 总体参数包括总体均值、比例、方差等 分析之前必需陈述,什么是假设?,什么是假设检验？,概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设 然后利用样本信息来判断原假设是否成立 类型 参数假设检验 非参数假设检验 特点 采用概率论的反证法 依据统计上的小概率原理,假设检验中的基本原理, 小概率原理 1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率 2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设 3. 小概

2、率由研究者事先确定,假设检验的基本思想,. 因此我们拒绝假设 = 50,样本均值,m,= 50,抽样分布,H0,假设检验的过程（提出假设抽取样本作出决策）,H0: 无罪,假设检验中的两类错误 （决策结果）,假设检验就像 一场审判过程,统计检验过程,假设检验中的两类错误,P弃真P否定H0 / H0成立,P取伪P接受H0 / H0不成立,1. 第一类错误（弃真错误）,原假设为真时拒绝原假设,被称为显著性水平,2. 第二类错误（取伪错误）,原假设为假时接受原假设, 错误和 错误的关系,和的关系就像翘翘板，小就大， 大就小,假设检验的基本步骤 给出原假设H0 和备择假设H1 选定分布已知的统计量 构造

3、小概率事件，确定出拒绝域 做一次试验，由样本值看小概率事件是否发生了 做出H0 正确与否的推断,下面只对进行控制，不考虑。,小概率一般取=0.1, 0.04, 0.05, 0.02, 0.01等。,1 问题的提出,例1. 某车间用一台包装机包装糖，额定标准每袋0.5kg，某天开工后为检验包装机工作正常否，随机抽取它所包的袋，称得净重为：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.511, 0.510, 0.515, 0.512,由以往检验知包装机包得糖重量XN(, ), 问这天打包机工作正常否？,2 正态总体期望的假设检验,1.一个正态总体检验期望等于某个常数：,

4、是已知数，检验H0：0. H1： 0,设X1,Xn是取自N(, 2) 的样本， 0,当H0成立时，,也不应与0相差太多。,故需找一个大的临界值,当H0成立时:,计算Z的值，当|z|z/2时否定H0。,当H0成立时，,需找个大的临界值,当H0成立时:,计算T的值，当|T|t /2(n-1)时否定H0。,双边检验（显著性水平与拒绝域 ）,双边检验（显著性水平与拒绝域 ）,双边检验（显著性水平与拒绝域 ）,双边检验（显著性水平与拒绝域 ）,例1 因为由以往检验知包装机包得糖重量XN(, 0.0152),所以属于正态总体检验期望0.5 。,解：,H0：0.5 H1： 0.5,计算得：,=1.8,n=9

5、,z0.025 =1.96,接受原假设H0 ，认为打包机工作正常。,例2.已知某铁厂铁水含碳量X服从正态分布，今测试5炉铁水的含碳量如下：4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37, 正常情况含碳量应为4.55。检验今铁水含碳量有无显著变化？,解：,H0：4.55 H1： 4.55,计算得：,=7.684,n=5,t0.025 (4)=2.776,否定原假设H0 ，认为含碳量有显著变化。,2.一个正态总体检验期望不超过某个常数：,知检验H0：0. H1：0,设X1,Xn是取自N(, 2) 的样本，2未,当H0成立时，,也不应太大。,故需找一个大的临界值。,但T分布未知！,于是：,

6、计算统计量T的值，当Tt(n-1)时否定H0。,考虑辅助随机变量：,解：H0 ： 21 H1 ： 21,所以：,t0.05(16)=1.746,不能否定H0，,认为此批罐头维生素C含量合格。,例3.番茄汁罐头中维生素C含量服从正态分布。按规定维生素C含量不得少于21毫克，现从一批罐头中抽17罐，算得维生素C含量的均值为23，标准差为3.98。问此批罐头维生素C含量是否合格？,均值的单边 Z 检验（提出假设）,单边检验（显著性水平与拒绝域 ）,左边检验（显著性水平与拒绝域 ）,左边检验（显著性水平与拒绝域 ）,右边检验（显著性水平与拒绝域 ）,二.两独立正态总体，检验期望相等。,设XN(1, 1

7、2), YN(2, 22)，X、Y相 互独立。已知12 22 2，但2未知。,X1，X2，Xn1为来自X的样本,Y1，Y2，Yn2为来自Y的样本,H0： 1=2, H1: 1 2,当H0成立时：,应很小。,故当找大的临界值。,当H0成立时：,P|T|t/2(n1+n2-2)=,计算T的值，当|T|t/2(n1+n2-2)时否定H0.,三.成对数据的假设检验：,为比较两种产品或两种仪器、两种方法的差异，常在相同条件下作比较试验。这样得到的数据为成对数据：,例4. 为比较甲乙两种安眠药的效果，选10个失眠者服用两种药延长睡眠时间如下：,问两种安眠药疗效有无显著差异？,分析：若两种安眠药疗效无显著差

8、异，则它们的差异完全由随机因素所引起。故是随机误差。随机误差可认为服从期望为 0的正态分布。这样问题转化为检验正态总体期望为 0。,解：设服用甲乙两种安眠药延长睡眠时间分别为X，Y。则：ZXYN(, 2),由已知得Z一组样本值zi 的一组值：,1.2 2.4 1.3 1.3 0 1.0 1.8 0.8 4.6 1.4,H0: =0 H1: 0,t0.025(9)=2.2622,否定H0 ，,认为两种安眠药疗效有显著差异。,3正态总体方差的假设检验,1. 一个正态总体检验方差等于某个常数：,知检验H0： 2 02 . H1： 2 02,设X1,Xn是取自N(, 2) 的样本， 未,由S2估计2

9、，,当H0成立时，,S2/02应与 1 无太大的偏差。,故需要找两个临界值。,因为H0成立时：,例5. 某车间生产铜丝，生产一向比较稳定，今从产品中抽出10根铜丝测其折断力，得数据如下(单位：kg)：,578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596,584。,可否认为该车间生产铜丝的折断力的方差为64？(折断力服从正态分布。0.05),解：H0： 2 02 . H1： 2 02,可为该车间生产铜丝的折断力的方差为64。,卡方 (2)检验实例,【例】根据长期正常生产的资料可知，某厂所产维尼纶的纤度服从正态分布，其方差为0.0025。现从某日产品中随机抽取2

10、0根，测得样本方差为0.0042。试判断该日纤度的波动与平日有无显著差异？(=0.05 ),卡方 (2) 检验 计算结果,H0: 2 = 0.0025 H1: 2 0.0025 = 0.05 n = 20 - 1 = 19 临界值(s):,统计量:,在 = 0.05的水平上接受H0,有证据表明该日纤度的波动比平时没有显著差异,决策:,结论:,2. 一个正态总体检验方差不超过某个常数：,知检验H0： 2 02 . H1： 2 02,设X1,Xn是取自N(, 2) 的样本， 未,由S2估计2 ，,当H0成立时，,S2/02不应比 1大的太多。,故需要从大的一头找一个临界值。,因为H0成立时：,分布

11、未知。,且：,3.两独立正态总体，检验方差相等。,设XN(1, 12), YN(2, 22)，X、Y相 互独立。 1, 2未知，检验12 22。,X1，X2，Xn1为来自X的样本,Y1，Y2，Yn2为来自Y的样本,H0： 12 22 , H1: 12 22,用 S12估计 12 、 S22估计 22,当H0成立时, S12/ S22应和1差不多,故应找一个大于1、一个小于1的两临界值。,因检验： 12 22 与检验： 22 12 等价, 而 F1-/2(n1-1, n2-1)1 以上方法可简化为：,计算S12/ S22 的值,时,否定H0.,H0成立时： S12/ S22 F(n1-1, n2

12、-1),例6. 从甲乙两车间生产的灯泡中分别抽50个、60个，测得平均寿命为：1282、1208小时；样本标准差80、94小时。问两车间生产灯泡质量有无显著差异？(由统计资料知灯泡寿命服从正态分布。0.05),解：分别用X、Y表示甲乙车间生产灯泡的寿命。,H0： 12 22 , H1: 12 22,1.67 F0.025(59, 69),不能否定H0，认为 12 22 。,H0： 1=2, H1: 1 2,t0.025(n1+n2-2) = t0.025(108)1.96,|T| t0.025(n1+n2-2),否定H0，认为两车间生产灯泡质量有显著差异 .,4.两独立正态总体，检验方差122

13、2。,设XN(1, 12), YN(2, 22)，X、Y相 互独立。 1, 2未知。,X1，X2，Xn1为来自X的样本,Y1，Y2，Yn2为来自Y的样本,H0： 12 22 , H1: 12 22,用 S12估计 12 、 S22估计 22,当H0成立时, S12/ S22应小于1。,故应找一个大于1的临界值。,当 FF(n1-1, n2-1)时,否定H0.,计算F=S12/ S22 的值,H0成立时： FS12/ S22 分布未知。,利用置信区间进行假设检验（双边检验）,求出双边检验均值的置信区间,2已知时：,2未知时,若总体的假设值0在置信区间外，拒绝H0,利用置信区间进行假设检验,双边检验：H0：0. H1： 0 （ 2未知）给定显著性水平 首先给出的置信水平为1- 的置信区间 由此得到检验的接受域： 亦即,利用置信区间进行假设检验（左边检验）,求出单边置信下限,