高中数学 3.4.2 基本不等式 的应用（一）优秀教案 新人教A版必修

1、备课资料备用习题1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a n-1b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时，a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;当ba0时，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-b n-1)0;当b=a0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以当ab时，an+bna n-1b+ab n-1;当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)

2、=2，（1）求证:内角C为定值；（2）求ABC面积的最大值. （）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,，即tan(A+B)=1.C=135.（2）解析：由题意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.当AC=BC时，SABC有最大值，最大值为SABC= (AC)2.再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得ABOC，所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km

3、/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间，因此，. 当且仅当,即x=80时取“=”.答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米

4、时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b2ab2a0（a0，b0），即a2bab30（a0，b0），a2b2,2ab30.当且仅当a2b时取“”，ab有最大值.当a2b时有2abab30，即b22b10.解之，得b 13，b2（舍去）.a2b.故当a米，b3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出

5、的水中杂质的质量分数，由题意可知4b2ab2a0（a0，b0），a2bab30（a0，b0）.（0a30).由题设，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.当且仅当a2时取“”，即a，b3时ab有最大值18.故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“”成立.5.如图，在ABC中，0，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，By.解：设Bx，By(0x4，0y），则SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依题意可知SBSAB.xysinB3.，xy10,又,在B中，由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14，当且仅当xy时，等号成立.故此时线段EF的长为2.点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等