（江苏专用）2020版高考数学总复习第十三章第一节圆锥曲线与方程课件苏教版.pptx

1、第一节圆锥曲线与方程,1.曲线与方程,2.求动点的轨迹方程的一般步骤,3.两曲线的交点,4.抛物线的标准方程和几何性质,教材研读,考点一 求曲线方程,考点二 直线与抛物线的位置关系,考点突破,1.曲线与方程 一般地,如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么方程f(x,y)=0叫做 曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线.,教材研读,2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系. (2)设点设轨迹上的任一点P(x,y). (3)列式列出动点P所满足的关系式. (4)代换依条件式的特

2、点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式,并化简. (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.,3.两曲线的交点 由曲线方程的定义可知,对于曲线C1: f1(x,y)=0和曲线C2:f2(x,y)=0,P0(x0,y0)是C1与C2的公共点所以求两条曲线的交点就是求方程组 的实数解.方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公 共点,若方程组没有实数解,则两条曲线就没有公共点.,4.抛物线的标准方程和几何性质,1.(教材习题改编)已知抛物线的准线为y轴,且经过点(1,0),求抛物线焦点的轨迹方程.,解析设焦点坐标为(x,y),则由抛物线定义可得=1(x0),即 (x-1)

3、2+y2=1(x0).,2.(2019江苏南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(1,a) (a0)是抛物线C上的一点,且AF=2. (1)求p的值; (2)若M,N为抛物线C上异于A的两点,且AM AN.记点M,N到直线y=-2的距离分别 为d1,d2,求d1d2的值.,解析(1)由题意可得+1=2.所以p=2. (2)由(1)得抛物线方程为y2=4x.因为点A(1,a) (a0)是抛物线C上的一点,所以a=2. 设直线AM的方程为x-1=m(y-2)(m0),设M(x1,y1),N(x2,y2).,由消去x,得y2-4my+8m-4=0, 即

4、(y-2)(y-4m+2)=0,所以y1=4m-2. 因为AMAN,所以用-代换m,得y2=-2. 所以d1d2=|(y1+2) (y2+2)|=16.,考点一 求曲线方程 角度一直接法求曲线方程 典例1在平面直角坐标系xOy中,已知定点F(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴上运动,点N为坐标平面内的动点,且满足=0,+=0. (1)求动点N的轨迹C的方程; (2)设点Q是直线l:x=-1上任意一点,过点Q作轨迹C的两条切线QS,QT,切点分别为S,T,设切线QS,QT的斜率分别为k1,k2,直线QF的斜率为k0,求证: k1+k2=2k0.,考点突破,解析(1)设点N(x,y),M(a,

5、0),P(0,b). 由+=0可知点P是线段MN的中点, 所以即 所以点M(-x,0),P. 所以=,=. 由=0,可得-x+=0,即y2=4x.,所以动点N的轨迹C的方程为y2=4x. (2)证明:设点Q(-1,t), 则过点Q的切线方程可设为y-t=k(x+1). 由得k2x2+2(k2+kt-2)x+(k+t)2=0.,所以=4(k2+kt-2)2-4k2(k+t)2=0. 化简得k2+tk-1=0. 显然,k1,k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根, 所以k1+k2=-t. 又k0=kQF=-,所以k1+k2=2k0. 所以命题得证.,方法技巧 直接法求轨迹方程的常见类型及解题

6、策略: (1)题目中给出等量关系,求轨迹方程时,直接代入即可得出方程. (2)题目中没有明确给出等量关系,求轨迹方程时,可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.,角度二定义法求曲线方程 典例2(2017江苏南通高三学情检测)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,直线l交圆A于C,D两点,过点B作AC的平行线交AD于点E,求点E的轨迹方程.,解析易知|AD|=|AC|,EBAC, 所以EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|. 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又易知圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 所以|AD|=4,

7、所以|EA|+|EB|=4.又A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2. 所以|EA|+|EB|=4|AB|.,由椭圆定义可得,点E的轨迹是以A,B为左,右焦点,长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为+=1(ab0),易知a=2,c=1,所以b2=3,故点E的轨迹方 程为+=1(y0). 方法技巧 利用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系式结合曲线定义判断是何种曲线,再写出标准方程.,典例3设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过点M作x轴的垂 线,垂足为N,点P满足=. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且

8、垂直于OQ的直线l过 C的左焦点F.,角度三相关点法(代入法)求曲线方程,解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=,得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n), =3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1,得-3m-m2+tn-n2=1.,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所

9、以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,1-1(2018苏北四市高三调研)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:y2=4x于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)若直线l1与曲线E相切于点Q(s,t),过点Q且垂直于l1的直线为l2,直线l1,l2分别与y轴相交于点A,B.当线段AB的长度最小时,求s的值.,解析(1)因为抛物线C的方程为y2=4x, 所以F的坐标为(1,0). 设M(m,n),因为圆M与x轴、直线l都相切,且直线l平行于x轴, 所以圆M的半径为|n|,点P(n2,

10、2n).,则直线PF的方程为=,即2n(x-1)-y(n2-1)=0, 所以=|n|,又m,n0.,所以|2m-n2-1|=n2+1,即n2-m+1=0. 所以E的方程为y2=x-1(y0). (2)设Q(t2+1,t),A(0,y1),B(0,y2), 易知曲线y2=x-1在点Q处的切线l1的斜率存在,由对称性设t0, 由y=,得kAQ=,kBQ=-2, 所以y1=-,y2=2t3+3t. 所以AB=2t3+t+(t0).,令f(t)=2t3+t+,t0, 则f (t)=6t2+-=, 由f (t)0得t, 由f (t)0得0t, 所以f(t)在区间上单调递减,在区间上单调 递增.,所以当t

11、=时,f(t)取得极小值,也是最小值,即AB取得最小值,此 时s=t2+1=.,1-2已知定点F1(-1,0),F2(1,0),P为圆F1:(x+1)2+y2=8上一动点,点M满足(+)=0,=(01). (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)设点M的坐标为(x,y),求证:|MF2|=-x; (3)过点F2作直线l交C于A,B两点,求+的值.,解析(1)点M满足(+)=0, (+)(-)=-=0. 即|=|. 又=, F1,M,P三点共线. 由题意知M在线段F1P上, |F1M|+|MP|=2. 又|=|,|F1M|+|MF2|=2. 点M的轨迹是以F1,F2为焦点,2为长轴长的椭圆. 点M

12、的轨迹C的方程为+y2=1. (2)证明:由题意可得|MF2|=, 结合+y2=1 , 可得|MF2|= =|x-2|.,-x,|MF2|=-x. (3)当直线l的斜率不存在时,|AF2|=|BF2|=, +=2. 当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程与+y2=1联立,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, x1+x2=,x1x2=,0恒成立. 由(2)的结论知|AF2|=-x1,|BF2|=-x2, +=+ =,= =2. 综上所述,+=2.,1-3设0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足

13、= ,经过点Q且与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=,求 点P的轨迹方程.,解析由=知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=(y-x2),即y0=(1+)x2-y. 再设B(x1,y1),由=,可得(x-x1,y0-y1)=(1-x,1-y0),所以 将代入得, 又点B在抛物线y=x2上,所以y1=.再将代入y1=,得(1+)2x2-(1+)y-=,(1+)x-2,即(1+)2x2-(1+)y-=(1+)2x2-2(1+)x+2, 所以2(1+)x-(1+)y-(1+)=0,即(2x-y-1)(i+)=0. 因为0,

14、所以(1+)0,则2x-y-1=0. 故点P的轨迹方程为y=2x-1.,考点二 直线与抛物线的位置关系 典例4(2018江苏五校高三学情检测)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线过点M(4,0). (1)若点F到直线的距离为,求直线的斜率; (2)设A,B为抛物线上的两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB的中点的横坐标为定值.,解析(1)易知直线不与x轴垂直,设直线的方程为y=k(x-4). 由题意知抛物线的焦点坐标为F(1,0). 因为点F到直线的距离为,所以=. 解得k=,所以直线的斜率为. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点

15、坐标为N(x0,y0),因为AB不垂直于x轴, 则直线MN的斜率为,直线AB的斜率为,故直线AB的方程为y-y0=(x-x0). 联立 消去x,得y2-y0y+x0(x0-4)=0, 所以y1+y2=. 因为N为AB中点,所以=y0,即=y0. 所以x0=2,即线段AB的中点的横坐标为定值2.,方法技巧 圆锥曲线与方程在附加题中的考查一般是以直线与抛物线的位置关系为载体,考查最值、取值范围、定值等,解法是联立直线与抛物线方程,消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程,利用条件建立目标函数,再结合函数、导数、不等式等求解.,2-1(2018江苏扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点F为抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线l过点F与抛物线相交于A,B两点(点A在第一象限). (1)若直线l的方程为y=x-,求直线OA 的斜率; (2)已知点C在直线x=-p上,ABC是边长为 2p+3的正三角形,求抛物线的方程.,解析(1)由题意知,焦点F在直线l上, 所以-=0.解得p=1. 所以抛物线的方程为y2=2x.,由消去x,得2y2-3y-2=0, 解得y=2或y=-.因为点A在第一象限,所以点A的坐标为(2,2). 所以直线OA的斜率为1.,(2)依题