第1章 数字系统与编码.ppt

1、第一章 数字系统与编码,1.1 数字系统中的进位制 1.2 数字系统中编码 返回,1.1 数字系统中的进位制,1.1.1 数制 1.1.2 数制转换 返回,1.1.1 数制,数制是人们对数量计数的一种统计规律，也就是按进位方式实现计数的一种规则。在日常生活中常用的数制是十进制、十二进制、六十进制等等。 返回,1.术语,1）基数：表示某种进位制所具有的数字符号的个数 。 例如： 十进制（基数为“10”，数码包括 0-9 ） 二进制（基数为“2”，数码包括0、1） 十六进制（基数为“16”，数码包括 0-9、A-F ）,2）权：也叫位权，表示某种进位制的数中不同位置上数 字的单位数值。 例如： 十

2、进制数234.56(2 3 4. 5 6) 百位 十位 个位 十分位 百分位 权：102 101 100 10-1 10-2,2.数的表示方法,对于一个一般的十进制数N，它可表示成： (N)10=(dn-1dn-2d1d0d-1d-2d-m) 10 （并列表示法） 或 (N)10=dn-1 (10)n-1+dn-2(10)n-2+d1(10)1+d0(10)0+d-1(10)-1+d-2(10)-2+d-m(10)-m= （按权展开式）,一般地，对于任意进制数可表示为： (N)R=(rn-1rn-2r1 r0r-1r-2r-m)R =rn-1Rn-1+ rn-2Rn-2 + r1 R1+ r0

3、 R0+ r-2R-2+ r-m R-m =,在数字系统中，常用二进制数来表示数和进行运算。这时R写成“2”，ri0, 1。 二进制算术运算十分简单，规则如下： 加法规则 0+0=0， 0+1=1+0=1， 1+1=10 乘法规则 00=0， 01=10=0， 11=1,例1.1 两个二进制数相加，采用“逢二进一”的法则 解 : 1 1 0 1 +) 1 0 0 1 _ 1 0 1 1 0,例1.2 两个二进制数相减，采用“借一当二”的法则 解 1 1 0 1 -) 0 1 1 0 _ 0 1 1 1,例1.3 两个二进制数相乘，其方法与十进制乘法运算相似，但采用二进制运算规则。 解 1 0

4、1 1 ) 1 1 0 1 _ 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 _ 1 0 0 0 1 1 1 1 ,1.1.2 数制转换,二进制与八进制的转换 二进制与十六进制的转换 二进制与十进制的转换 任意进制之间的转换 返回,1.二进制与八进制之间的转换,由二进制转换成八进制的方法是：以小数为界，将二进制数的整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每三位分成一组、头尾不足三位的补0；然后将每组的三位二进制转换为一位八进制数。 例如 将二进制数11010.1101转换为八进制数。 011010. 110100 3 2 . 6 4 所以 (11010.1101)2=(32.

5、64)8,例如 将八进制数357.6转换为二进制数。 3 5 7 . 6 . 011 101 111 . 110 所以 (357.6)8=(11101111.11)2 返回,2.二进制与十六进制的转换,由二进制转换成十六进制的方法是：以小数为界，将二进制数的整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每四位分成一组、头尾不足四位的补0；然后将每组的四位二进制转换为一位十六进制数。 例如 将二进制数1010110110.110111转换为十六进制数。 0010 1011 0110 . 1101 1100 2 B 6 . D C 所以 (1010110110.110111)2=(2B6.DC)16,例

6、如 将十六进制数5D.6E转换为二进制数。 5 D . 6 E 0101 1101 . 0110 1110 所以 (5D.6E)16=(1011101.0110111)2 返回,3.二进制与十进制的转换,将二进制数写成按权展开式，并将式中各乘积项的积算出来，然后各项相加，即可得到与该二进制数相对应的十进制数。 例如 (11010.101)2 =124+123+022+121+020 +12-1+02-2+12-3 =16+8+2+0.5+0.125 =(26.625)10,十进制数转换成二进制数时，需将待转换的数分成整数部分和小数部分，并分别加以转换。将一个十进制数写成: (N)10 =101

7、0 转换时，首先将10转换成2，然后再将10转换成2。待整数部分和小数部分确定后，就可写成 (N)2=2.2,（1）整数转换,整数部分采用“除2取余”法进行转换，即把十进位制整数除以2，取出余数1或0作为相应二进制数的最低位，把得到的商再除以2，再取余数1或0作为二进制数的次低位，依次类推，继续上述过程，直至商为0，所得余数为最高位。 例如,(58)10=（?）2 2 5 8 2 2 9 余数0(a0)最低位 2 1 4 余数1(a1) 2 7 余数0(a2) 2 3 余数1(a3) 2 1 余数1(a4) 0 余数1(a5)最高位 因此，(5)10=(111010)2,（2）纯小数转换,采用

8、“乘2取整”法进行转换，即先将十进制小数乘以2，取其整数1或0，作为二进制小数的最高位；然后将乘积的小数部分再乘以2，并再取整数，作为次高位。重复上述过程，直到小数部分为0或达到所要求的精度。,例1. (0.625)10=(?)2 0 . 6 2 5 ) 2 - 1 . 2 5 0 整数1(a-1)最高小数位 ) 2 - 0. 5 0 0 整数0(a-2) ) 2 - 1. 0 0 0 整数1(a-3)最低小数位 故(0.625)10=(0.101)2注意：式中的整数不参加连乘,例2.将十进制数0.18转换成二进制数，精确到小数点后5位。 0.18 1.44 整数1(a-3) ) 2 ) 2

9、- - 0.36 整数0(a-1) 0.88 整数0(a-4) ) 2 ) 2 - - 0.72 整数0(a-2) 1.76 整数1(a-5) ) 2 - 故(0.18)10 (0.00101)2 返回,4.任意进制之间的转换,按权展开,整数部分：除取余 小数部分：乘取整,返回,1.2 数字系统中编码,1.2.1 带符号数的代码表示 1.2.2 十进制数的二进制编码 1.2.3 可靠性编码 1.2.4 字符编码 返回,1.2.1 带符号数的代码表示,1.真值与机器数 2.原码 3.反码 4.补码 返回,真值：直接用正号“+”和负号“-”来表示符号的二进制数，叫做符号数的真值。 如：+0.101

10、1 -0.1011 机器数：将符号用数值表示的数，习惯上“+”用0表示， “-”用1表示。如： 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 符号 数值 符号 数值 返回,1.真值与机器数,2.原码,又称为“符号-数值表示”。在以原码形式表示的正数和负数中，第1位表示符号位，对于正数，符号位记作0，对于负数，符号位记作1，其余各位表示数值部分。 1）定义 一个n位的整数N(包括一位符号位)的原码一般表示式为： N 0N 2n-1 N原 = 2n-1-N -2n-1N0,对于定点小数，通常小数点定在最高位的左边，这时，数值小于1。定点小数原码一般表示式为: N 0N1 N原 = 1-N -1N0,2)

11、性质,当N为正数时，N原和N的区别只是增加一位用0表示的符号位。 当N为负数时，N原和N的区别是增加一位用1表示的符号位。 在原码表示中，有两种不同形式的0，即 +0原=0.000 -0原=1.000,3）举例,如果 N1=+0.1101 N2=-0.1101 则 N1原=0.1101 N2原=1.1101 返回,3.反码,反码又称为“对1的补数”。用反码表示时，左边第1位也为符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反，而对于正数，反码和原码相同。,1）定义,一个n位的整数N(包括一位符号位)的反码一般表示式为 ： N 0N2n-1 N反 = (2

12、n-1)+N -1N0 同样，对定点小数，若小数部分的位数为m，则它的反码一般表示为 ： N 0N1 N反= (2-2-m)+N -1N0,2）性质,(1) 正数N的反码N反与原码N原相同。 (2) 对于负数N，其反码N反的符号位为1，数值部分是将原码数值按位变反。 (3) 在反码表示中，0的表示有两种不同的形式，即 +0反=0.000 -0反=1.111,3）反码运算及示例,在进行反码运算时，两数反码的和等于两数和的反码。即： N1反+N2反=N1+N2反 符号位也参加运算，当符号位产生进位时，需要循环进位(即把符号位的进位加到和的最低位上去)。,例如： 已知N1=+1001，N2= -10

13、11，求N1+N2 解 N1反= 0 1 0 0 1 +) N2反= 1 0 1 0 0 - N1反+N2反= 1 1 1 0 1 即 N1+N2反= 1 1 1 0 1， 所以N1+N2= -0010,例：已知 N1=+1001 N2=-0101，求N1+N2 解 N1反= 0 1 0 0 1 +) N2反= 1 1 0 1 0 - N1反+N2反=10 0 0 1 1 +) 1 - 0 0 1 0 0 即 N1+N2反=00100， 所以N1+N2=+0100 返回,4.补码,又称为“对2的补数”。在补码表示法中，正数的表示同原码和反码的表示是一样的，而负数的表示却不同。对于负数，其符号位

14、为1，而数值位是将原码按位变反加1，即按位变反，再在最低位加1。,1）定义,一个n位的整数N(包括一位符号位)的补码一般表示式为 ： N 0N2n-1 N补= 2n+N -2n-1N0 同样，对于定点小数，补码一般表示式可写成 ： N 0N1 N补= 2+N -1N0,2）性质,(1) 正数N的补码N补与原码N原和反码N反相同。 (2) 对于负数，补码N补的符号位为1，其数值部分为反码数值加1。 (3) 在补码表示中，0的表示式是唯一的，即 +0补=0.000 -0补=0.000,3）补码运算及示例,补码运算规则： N1补+N2补=N1+N2补 运算时，符号位和数值位统一样参加运算，如果符号位

15、产生进位，则需将此进位“丢掉”。,例：已知N1= -0.1100，N2= -0.0010，求N1+N2补和N1-N2补以及N1+N2、N1-N2 解 对于 N1+N2补 N1补= 1 . 0 1 0 0 +) N2补= 1 . 1 1 1 0 丢掉 1 1 . 0 0 1 0 即 N1+N2补=1. 0 0 1 0 N1+N2 = -0. 1 1 1 0,因为 N1-N2补=N1补+-N2补，则 N1补= 1. 0 1 0 0 +) N2补= 0. 0 0 1 0 1. 0 1 1 0 即N1-N2补=1. 0 1 1 0 N1-N2= -0.1010,4）原码，补码转换的更简便方法,对于负数

16、，原码、补码之间的转换可直接按位写出来：符号位不变，数值位从右边起往左写，遇到“0”或第一个“1”照写，以后则按位求反即可。 例如 ：N原= 1 0 0 1 1 0 1 0 0 从右往左 N补= 1 1 1 0 0 1 1 0 0,1.2.2 十进制数的二进制编码,在计算机或其它数字系统中，常用二进制代码来表示十进制数，并进行运算。 这种方法就是将十进制的十个数字符号分别用若干位二进制代码来表示，通常称为二-十进制编码。这种编码既具有二进制的形式又具有十进制数的特点。,1）8421 (BCD)码,将十进制的每个数字符号用四位二进制数表示 。 编码方式,特点： （1）有权码：设8421(BCD)

17、码的各位为a3a2a1a0则它所代表的值为：N=8a3+4a2+2a1+1a0 （2）编码简单直观，它与十进制数之间的转换只要直接按位进行就可。例如 (91.76)10=(1001 0001 . 0111 0110)BCD ,2）余三码,余3码也是用四为二进制代码表示一位十进制数字。 编码方式,特点： (1)无权码；对9的自补码。每一个余3码只要自身按位取反，便可得到其对9之补码。 例如,(2)两个余3码相加，和要进行修正 。方法是：如果没有进位，则和需要减3；如果发生了进位，则和需要加3. 例如 2 0101 9 1100 +) 3 +) 0110 +) 1 +) 0100 - - - -

18、5 1011 10 进位1 0000 -) 11 +） 11 - - （无进位和减3） 1000 （有进位和加3） 0011,3）2421码,和BCD码相似，它也是一种有权码，所不同的是2421码的权从左到右分别为2，4，2，1。设2421码中的各位为a3a2a1a0，则它所代表的值为： N= 2a3+4a2+2a1+1a0,编码方式：,除上述三种常用的二-十编码外，还有5421码、4421码、4221码等4位编码以及5中取2码、移位计数器码等五种编码。 返回,1.2.3 可靠性编码,代码本身具有某种特征，使得代码在形成中不易出错，或者这种代码在出错时容易发现，甚至能查出出错的位置并予以纠正。,1） 格雷(Gray)码,典型GRAY码：,Gray码都有一个共同特点，即从一个代码变为相邻的另一代码时，只有一位发生变化。,GRAY码与普通二进制的转换,设二进制码为BnBn-1B1B0 其对应的Gray码为 GnGn-1G1G0 Gn=Bn 式中，符号 表示异或运算 则有 : 或者模2加运算，其规则是： Gi= Bi+1 Bi 00=0, 01=1, 10=1, 11=0 Bn=Gn 反之： Bi=Bi+1 Gi,例：把二进制码0111和1100转换成典型的Gray码 B= 0 1 1 1 B=1 1 0 0 G= 0 1 0 0 G= 1 0 1 0,例