高中数学 4.1.2 定积分（一） 教案 北师大选修

1、4.1.2 定积分1.复习不定积分的概念.2.讲授新课 2.1两个引例引例1 曲边梯形的面积由连续曲线（）和及围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1） 由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的，因而它的面积不能由公式底高求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积.设函数在区间上连续，且.在上任取个内分点：，将区间分

2、割为个小区间: 图1记每一小区间长度为，过分点作轴的垂线，将曲边梯形分割为个小曲边梯形；设表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点，以为底边，为高作小矩形，则小矩形的面积为，当很小时，有若分点越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即，此为曲边梯形面积的近似值若用来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形的面积，即. 我们把极限称之为曲边梯形的面积 引例2 变速直线运动的路程设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零，考虑从时刻到时刻所走过的路程我们仍然采用分割的方法：（1）用分点：

3、将时间区间分成个小区间: ，每个小区间的长度记为（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻，则质点在该时间区间走过的路程近似为， （3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值，即（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为，当时，则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程，即定积分的定义以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1设函数在上有定义，任取分点将分成个小区间，记为区间长度，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式若时，和式的

4、极限存在，且此极限值与区间的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即 . (1)这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积.根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为；变速直线运动的质点的路程可以表为：.关于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即.(2)定义中要求，若、时有如下规定：当时， ，即互换定积分的上、下限，定积分要变号.当时， .在怎样的条件下，在上的定积分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果在上连续，则在上可积.定理

5、2 如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时，假定，曲边梯形的图形在轴的上方，则积分值是正的，即；若，图形在轴的下方，则积分值是负的，即；若在上有正有负时，则积分值就表示曲线在轴上方和轴下方的面积的代数和.如图2所示 .例1 用定积分表示图中阴影部分的面积.图4解 (1)；(2).图3图5例2 利用定积分的几何意义，说明的成立解 的几何意义是由曲线，围成的图形的面积，如图5-5所示，求得面积为，故定积分的性质设、在区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：性质1 . 性质2 常数因子可直接提到积分符号前

6、面.性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.性质4 对任意的点，有.这一性质称为定积分的可加性，无论还是，性质均成立性质5 如果在上有，则.特别地，当时， .性质6 （估值定理）若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则 .这是因为，由性质5得，再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理) 设在闭区间上连续，则至少存在一点，使 .其几何意义是：设，则由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形面积等于以区间为底，以为高的矩形的面积(如图6所示). 我们称为在上的平均值. 例3 比较下列各对积分值的大小：(1)与；(2)与.解 (1)因为在上，所以. (2)因为在上，所以.例4 估计定积分的值解 因是指数函数，由指数函数的性质知，在上的最大值为，最小值为，由性质有，即 .小结定积分的概念（1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的累积问题通过“分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似，取极限得精确总量”的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念即 （2）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围