高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程学案（含解析）新人教A版选修

1、15.11.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程曲边梯形的面积如下图，阴影部分是由直线x1，x2，y0和函数f(x)x2所围成的曲边梯形问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如

2、图甲)(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积“以直代曲”的思想曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想汽车行驶

3、的路程问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？提示：可以求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么它在时间t所在的区间内的路程(或位移)也可以运用分割；近似代替；求和；取极限的方法求得变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题求曲边梯形的面积求由直线x1，x2，y0及曲线yx3所围成的图形的面积(1)分割如右图所示，用分点，把区间等分成n个小区间，每个小区间的长度为x(i1,2,3，n)过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小

4、曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替各小区间的左端点为i，取以点i的纵坐标为一边，以小区间长x为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Six3(i1,2,3，n)(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即SSi3 .(4)取极限当分点数目越多，即x越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n，即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积因为3(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3，所以Sli311.求曲边

5、梯形的面积应关注两点(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S，实质是用n个小矩形面积的和Sn来逼近，Sn的极限即为所求曲边梯形的面积S.求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值求由直线x1，x2，y0与曲线y2x2所围成的曲边梯形的面积解：(1)分割在区间上等间隔地插入n1个分点，把区间等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x，每个小区间内曲边梯形的面积记为Si(i1,2，n)，显然SSi.(2)近似代替记f

6、(x)2x2，取i(i1,2，n)，于是SiSifx22(i1,2，n)(3)求和SnSi212212n22.从而得到S的近似值SSn.(4)取极限Sli Snli 221.求变速运动的路程有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？(1)分割在时间区间上等间隔地插入n1个分点，将它等分成n个小区间记第i个小区间为(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2，n)，则显然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2，n)于是sisivt(i1,2，n)(3)求

7、和snsi(1222n2)44814.从而得到s的近似值sn814.(4)取极限sli snli 8412，所以这段时间内行驶的路程为12 km.变速运动的路程的求法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间内物体下落的距离解：(1)分割将时间区间分成n等份把时间分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段tt，在各小区间物体下落的距离记作si(i1,2，n)(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路

8、程在上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2，n)(3)求和snsigtgt2.(4)取极限s gt2gt2.求由抛物线y2x2与直线x0，xt(t0)，y0所围成的曲边梯形的面积时，将区间等分成n个小区间，则第i1个区间为()A.B.C. D.每个小区间长度为，故第i1个区间的左端点为0(i2)，右端点为.D1解决本题易错误地认为区间左端为，从而误选C.2在将区间等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，依次类推，第i个小区间的左端点为.在求直线x0

9、，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成n个小区间，则第i个小区间是()A. B.C. D.解析：选C将区间等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.1在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(i)D以上答案均正确解析：选C作近似计算时，xxi1xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是上任一值f(i)2已知汽车在时间内以速度vv(t)做直线运动，则下列说法不正确的是()A当va(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程svt1B当vatb(a，b

10、为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程sbt1atC当vatb(a0，a，b为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程sbt1atD当vat2btc(a0，a，b，c为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程slisnli(i)t解析：选B对于vatb，当a0时为匀速直线运动，当a0时为匀变速直线运动，其中a0时为匀加速直线运动，a0时为匀减速直线运动对于vat2btc(a0)及vv(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B是错误的3在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间 n等分，则每个小区间的长度为_解析：每个小区间长度为

11、.答案：4.求由抛物线f(x)x2，直线x1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间等分成5个区间，如右图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为_解析：由题意得S(0.120.320.520.720.92)0.20.33.答案：0.335利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y1x，x1，x2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证解：f(x)1x在区间上连续，将区间分成n等份，则每个区间的长度为xi，在上取ixi11(i1,2,3，n)，于是f(i)f(xi1)112，从而Sn(i)xin22.则SliSnli .如下进行验证：如右图所示，由梯形的面积公

12、式得S(23)1.一、选择题1下列函数在其定义域上不是连续函数的是()Ayx2By|x|Cy Dy解析：选D由于函数y的定义域为(，0)(0，)，故其图象不是连续不断的曲线2在求由xa，xb(ab)，yf(x)(f(x)0)及y0围成的曲边梯形的面积S时，在区间上等间隔地插入n1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的是()An个小曲边梯形的面积和等于SBn个小曲边梯形的面积和小于SCn个小曲边梯形的面积和大于SDn个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定解析：选An个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.3和式(yi1)可

13、表示为()A(y11)(y51)By1y2y3y4y51Cy1y2y3y4y55D(y11)(y21)(y51)解析：选C(yi1)(y11)(y21)(y31)(y41)(y51)y1y2y3y4y55.4对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B.C. D.解析：选A将区间三等分为，各小矩形的面积和为s10333.5若做变速直线运动的物体v(t)t2在0ta内经过的路程为9，则a的值为()A1 B2C3 D4解析：选C将区间 n等分，记第i个区间为(i1,2，n)，此区间长为，用小矩形面积2近似代替相应的小

14、曲边梯形的面积，则Sn2(1222n2)，依题意得 9，9，解得a3.二、填空题6已知某物体运动的速度为vt，t，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_解析：把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为1，物体运动的路程近似值s1(1210)55.答案：557物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)2t(t的单位：h；v的单位：km/h)，近似计算在区间内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个i均取值为小区间的右端点)为_km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近

15、似值为s(232425262728)166 (km)答案：668直线x0，x2，y0与曲线yx21围成的曲边梯形，将区间5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_.解析：将区间5等分为，以小区间左端点对应的函数值为高，得S11212121213.92，同理S2212121212215.52.答案：3.925.52三、解答题9汽车行驶的速度为vt2，求汽车在0t1这段时间内行驶的路程s.解：(1)分割将区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为t.(2)近似代替在区间(i1,2，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为2.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn02222.(4)取极限汽车行驶的路程slisnli.10求由直线x0，x1，y0和