高中数学 第一章 集合与函数概念 第2节 函数及其表示（4）教案 新人教A版必修

1、第一章第二节函数及其表示第四课时导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应3对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应5函数的概念我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素

2、x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题推进新课给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？像问题中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？讨论结果：集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一

3、确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：AB”如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一函数是特殊的映射，映射是函数的推广例题 下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)AP|P是数轴上的点，BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)AP|P是平面直角坐标系中的点，B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)A三角形，Bx|x是圆，对应

4、关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)Ax|x是新华中学的班级，Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生活动：学生思考映射的定义判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.变式训练1图14(1)，(2)，(3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？图14答

5、案：(1)不是；(2)是；(3)是2在图15中的映射中，A中元素60对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素对应？图15答案：A中元素60对应的元素是，在A中的元素45与B中元素对应.1下列对应是从集合S到T的映射的是()ASN，T1,1，对应法则是(1)n，nSBS0,1,4,9，T3，2，1,0,1,2,3，对应法则是开平方CS0,1,2,5，T1，对应法则是取倒数DSx|xR，Ty|yR，对应法则是xy解析：判断映射的方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受对应法则f的作用，作用的结果是否一定在B中，作用的结果是否唯一这三个方面很明显A符合定义；B是一对多的对应；C中集合S中的元素0

6、没有象；D中集合S中的元素1也无象答案：A2已知集合Mx|0x6，Py|0y3，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是()Af：xyx Bf：xyx Cf：xyx Df：xyx解析：选项C中，集合M中部分元素没有象，其他均是映射答案：C3已知集合AN*，Ba|a2n1，nZ，映射f：AB，使A中任一元素a与B中元素2a1对应，则与B中元素17对应的A中元素是()A3 B5 C17 D9解析：利用对应法则转化为解方程由题意得2a117，解得a9.答案：D4若映射f：AB的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是_；Y与B的关系是_解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集

7、合B中的元素在集合A中不一定有原象故象的集合是B的子集所以XA，YB.答案：XAYB5已知集合Ma，b，c，d，Px，y，z，则从M到P能建立不同映射的个数是_解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立3481个不同的映射答案：816下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M矩形，N实数，对应法则f为矩形到它的面积的对应(2)设M实数，N正实数，对应法则f为x.(3)设Mx|0x100，Nx|0x100，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应(2)不是映射，因为当x0时，集合N中没有元素与之对应(3)是映射，因为它

8、是一对一的对应7设集合A和B都是自然数集，映射f：AB把A中的元素n映射到B中的元素2nn，则在映射f下，A中的元素_对应B中的元素3.()A1 B3 C9 D11解析：对应法则为f：n2nn，根据选项验证2nn3，可得n1.答案：A8已知集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，且aN，kN，xA，yB，映射f：AB，使B中元素y3x1和A中元素x对应，求a及k的值分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由310，求得a值，进而求得k值解：B中元素y3x1和A中元素x对应，A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a410或a

9、23a10.aN，由a23a10，得a2.k的象是a4，3k116，得k5.a2，k5.9已知集合A(x，y)|xy3，xN，yN，B0,1,2，f：(x，y)xy，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由解：是映射，不是函数由题意得A(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，显然对于A中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A不是数集而是点集，所以不是函数问题：集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立多少个不同的映射？探究：当m1，n1时，从M到N能建立111个不同的映射；当m2，n1时

10、，从M到N能建立112个不同的映射；当m3，n1时，从M到N能建立113个不同的映射；当m2，n2时，从M到N能建立422个不同的映射；当m2，n3时，从M到N能建立932个不同的映射集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立nm个不同的映射本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”(2)映射由三个部分组成：集合A，集合B及对应法则f，称为映射的三要素(3)映射中集合A，B中的元素可以为任意的课本本节练习4.补充作业：已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由(1)AN，BZ，对应法则f为“取相反数”；(2)A1,

11、0,2，B1,0，对应法则：“取倒数”；(3)A1,2,3,4,5，BR，对应法则：“求平方根”；(4)A0,1,2,4，B0,1,4,9,64，对应法则f：ab(a1)2；(5)AN*，B0,1，对应法则：除以2所得的余数答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向备选例题【例1】 区间0，m在映射f：x2xm所得的象集区间为a，b，若区间a，b的长度比区间0，m的长度大5，则m等于()A5 B10

12、 C2.5 D1解析：函数f(x)2xm在区间0，m上的值域是m,3m，则有m,3ma，b，则am，b3m，又区间a，b的长度比区间0，m的长度大5，则有ba(m0)5，即bam5，所以3mmm5，解得m5.答案：A【例2】 设xR，对于函数f(x)满足条件f(x21)x45x23，那么对所有的xR，f(x21)_.解析：(换元法)设x21t，则x2t1，则f(t)(t1)25(t1)3t23t7，即f(x)x23x7.所以f(x21)(x21)23(x21)7x4x29.答案：x4x29知识总结1函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集2映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集