高中数学 随机变量及其分布 教案 选修

1、河北省张家口一中高二数学选修2-3 随机变量及其分布 教案【考纲知识梳理】一、随机变量及其分布列1离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。2离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值的概率，则表XP称为X的分布列， 为X的分布列。（2）离散型随机变量的分布列的性质0（）；。3常见离散型随机变量的分布列（1）两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为（2）超几何分布其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,N,称分布列X01mP为超几何分布列。二、二项分布及其应用1条件概率及其性质（1）条件概率的定义A、B为两个事件，

2、且P（A）0，P（B|A）=P（AB）/P（A）若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。（2）条件概率的性质0P（B|A）1；如果B、C是两个互斥事件，则P（BC|A）=P（B|A）+P（C|A）。2事件的相互独立性如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。3 独立重复试验与二项分布那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB（n,p）三、离散型随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为XPEX=+为随机变量X的均值或数学期望DX=为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X

3、的标准差，记作。2均值与方差的性质（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p).（2）若XB（n,p），则EX=np.DX=np(1-p).四、正态分布1.正态曲线及性质（1）正态曲线的定义（2）正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x=对称；曲线在x=处达到峰值曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2

4、正态分布（1）正态分布的定义及表示P（aXb）=,则称X为正态分布，记作。（2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值P（-X+）=0.6826;P(-2X+2)=0.9544;P(-3X+3)=0.9974.（3）3原则五、回归分析以及独立性检验的基本思想（见教材）【热点难点精析】1、 离散型随机变量及其分布列例一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。随机变量X的分布列为：X3456P（二）离散型随机变量分布列的性质例设离散型随机变量X的分布列为X01234P02010103m求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-

5、1|的分布列。（1）2X+1的分布列：（三）利用随机变量分布解决概率分布问题例某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（1）求从甲、乙两组各抽取的人数； （2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 解（2） （3）0123期望略.二、二项分布及其应用（一）条件概率例1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球

6、的概率是多少?解答:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球; 事件B:从1号箱中取出的是红球.P(B)=4/(2+4)=2/3,.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|)=3/(8+1)=1/3.从而P(A)=P(AB)+P(A)= P(A|B) P(B)+ P(A|)P()=4/92/3+=.(二)事件的相互独立性例甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（） 打满3局比

7、赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望.解析：令分别表示甲、乙、丙在第局中获胜.（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为（）的所有可能值为2，3，4，5，6，故有分布列23456P从而（局）.(三)二项分布例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选3名下岗人员

8、,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.解答:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加计算机培训”为事件B，由题意知，A与B相互独立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为P()=P()P()=(1-0.6)(1.0.75)=0.1该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.(2)的分布列为0123P0.0010.0270.2430.729(四)独立重复试验例甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是和。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。(1)求甲射击4次,至少有1次未击中

9、目标的概率;(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?解答:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件.由题意,射击4次相当于作4次独立重复试验.故P()=1-P()=1-()4=,所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为(2)记“甲射击4次，恰有2次击目标”为事件， “乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件，则由于甲、乙射击相互独立，故。所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。（3）记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件，“乙第次

10、射击未击中”为事件则由于各事件相互独立，故所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为。三、离散型随机变量的均值与方差的计算例甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（）求随机变量分布列和数学期望；()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).解答：根据题设可知因此的分布列为（）用表示“甲队得分”这一事件，用表示“已队得分”这一事件，由于事件为互斥事件，故事（二）均值与方差的实际

11、应用例现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整。记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时。随机变量，分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。（1）求，的概率分布列和均值，；（2）当时，求p的取值范围。解答：（1）：的概率分布列为12118117P=12+118+117=118。由题设得XB（2，p），即X的概率分布列为X012p(1-p)22p(1-p)P2

12、故的概率分布列为1312502P(1-p)22p(1-p)P2所以的均值列为=13(1-p)2+1252p(1-p)+ 02P2=- P2-0.1p+1.3(2)由,得- P2-0.1p+1.31.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) 0,解得-0.4p0.3.因为0p1,当时,p的取值范围是0p0.3.(三)均值与方差性质的应用例设随机变量具有分布P(=k)=,k=1,2,3,4,5,求E(+2)2,D(2-1),(-1).四、正态分布（一）正态分布下的概率计算例设XN（5，1），求P（6X7）。解答：由已知由正态曲线的对称性可得P（3X4）= P（6X7）P（6X7）=（二）正态曲线的

13、性质例如图是一个正态曲线。试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差。解答：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以。，解得。于是正态分布密度函数的解析式是：总体随机变量的期望是，方差是。（三）正态分布的应用例设在一次数学考试中，某班学生的分数服从，且知满分150分，这个班的学生共54人。求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数。解答：因为，所以所以，的概率为所以，的概率为0.6826+0.1587=0.8413.所以及格的人数为540.841345(人),130分以上的人数为540.15879(人).五、回归分析以及独立性检验的基本思想例：关于与有如下数据：245683040605070为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，试比较哪一个模型拟合的效果更好.，84.5%82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.例题