高中数学 基本不等式教学设计 新人教A版必修

1、教学设计3.4.1基本不等式教学设计教学目标1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。教学重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点 基本不等式等号成立条件教学过程1.课题导入（设计意图：通过教师对第24届国际数学家大会和对赵爽的介绍，引起学生对数学的热爱和学习数学的兴趣。）基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代

2、数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形设直角三角形的两条直角边长为a,b（ab）,那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2得到结论：一般的，对于任意实数a,b，我们有，当且仅当a=b时，等

3、号成立。3思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：通过图形得到了不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程）证明：因为 当所以，即41）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a0,b0,我们用、分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b-0 （3）要证（3），只要证 （a+b-） （4）显然，（4）是成立的当且仅当a=b时，（4）中的等号成立 3）理解基本不等式的几何意义探究：课

4、本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（设计意图：从不同的侧面理解不等式，培养学生一题多解的意识）易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数

5、.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题例1 已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.随堂练习（设计意图：通过练习熟悉基本不等式，初步学会它的一些应用。利用不等式的证明来培养学生严谨的理性精神、数学习惯）1.已知

6、a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：a，b，c都是正数ab20 bc20 ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.4.课时小结（设计意图：总结梳理本节课所讲的内容，使学生形成系统的认识，培养学生的归纳总结能力）本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2.5.评价设计1）、体会