近世代数基础课件.ppt

1、1,第一章 绪 论,2,第1讲 绪 论,一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际问题,3,第二章 基本概念,4,第1讲 集合及其之间的关系 集合 第2讲 集合及其之间的关系 对应关系(映射)(人造关系) 第3讲 代数运算适应的规则运算律 第4讲 与代数运算发生关系的映射同态映射 第5讲 等价关系与分类,5,第1讲 基本概念之集合及其之间的关系 集合,1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 3 集合与集合元素之间的关系属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集合的表示方法 6 集合之间

2、的内在关系包含关系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理,6,第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 对应关系(映射)(人造关系),1 映射概念回忆 2 映射及相关定义 3 映射的充要条件 4 映射举例 5 符号说明 6 映射的合成及相关结论 7 映射及其映射相等概念的推广 8 集合及其之间的关系特殊的映射（代数运算） 9 集合及其之间的关系一一映射,7,第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 运算律,1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二

3、分配律,8,第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例,9,第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 商集,1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系,10,第三章 群,11,第1讲 代数系统 第2讲 半群 第3讲 群的定义及性质 第4讲 有限群 第5讲 子群的定义及性质 第6讲 元素的阶 第7讲 循环群 第8讲 变换群 第9讲 特殊子群 第10讲 群的同态与同构 第11讲 群与对称的关系,12,第1讲 代数系统,2 代数系统的举例,1 代数系统及子代数系统的定义,13,第

4、2讲 半群,1 半群、子半群、交换半群的定义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质,14,1 群的第一定义2 单位元及逆元的定义3 群的第二定义4 群的第三定义5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明7 群的举例8 群的重要性质,第3讲 群的定义及性质,15,第4讲 有限群,1 群的分类及群的阶 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代数运算的运算表观察代数运算的性质,16,1 子群定义2 子群的判别方法3 子群的性质,第5讲 子群的定义及性质,17,1 元素阶的定义 2 元素阶的举例 3 元素阶的性质,第6讲 群中元素的阶,18,2 循环群与元素阶的关系,1 循环群的定义及举例

5、,3 循环群的一般形式,5 循环群生成元的确定定理,第7讲 循环群,4 循环群的生成元的个数定理,19,第8讲 变换群1 变换、满变换、单变换、一一变换的定义及符号说明2 特殊集合关于乘法的结论3 变换群举例4 特殊的变换群,20,1 循环群子群的一些结论2 循环群概念的推广3 特殊子群的几何意义探讨4 子群的陪集5 正规子群与商群,第9讲 特殊子群,21,1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理,第10讲 群的同态与同构,22,第11讲 群与对称的关系 1 序言 2 几何对称 3 代数对称,23,第四

6、章 环论,24,第1讲 环的定义及基本性质 第2讲 特殊元素及性质 第3讲 环的分类及特殊环的性质 第4讲 环的特征 第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 第6讲 环的同态与同构 第7讲 特殊环 第8讲 商域 第9讲 有限域,25,第1讲 环的定义及基本性质,1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质,26,第2讲 特殊元素及性质,1 特殊元素之一零元、负 元及单位元、逆元、零因子 2 零因子的性质 3 求环中的特殊元素举例,27,第3讲 环的分类及特殊环的性质,1 特殊环的定义 2 除环的性质 3 有限环的几个相关结论 4 域中元素的计算方法 5 循环环的性质,28,第4讲 环的

7、特征,1 环的特征的定义 2 特殊环的特征(数)及相关结论 3 举例,29,第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 1 子环 2 理想(主理想) 3 素理想和极大理想,30,第6讲 环的同态与同构,1 环的同态及同构的定义 2 环的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理,31,第7讲 特殊环,1 矩阵环 2 多项式环 3 剩余类环,32,第8讲 商域 1 构造域的方法 2 挖补定理 3 扩域定理 4 扩域的形式 5 商域的定义及结论 6 举例,33,第9讲 有限域,34,第五章 整环里的因子分解,35,第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2

8、讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环,36,1 整环的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的情形,第1讲 不可约元、素元、最大公因子,37,第2讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分解式、唯一分解环、非唯一分解环举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理,38,第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根,39,第六章 群论补充,40,第1讲 共轭元与共轭子群,第2讲 群的直积,第3讲

9、群在集合上的作用,第4讲 西罗定理,41,研究群内一些特殊类型的元素和子群 1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子,第1讲 共轭元与共轭子群,42,一 群的外直积 1 群的外直积的定义 2 群的外直积的基本性质 3 群的外直积定义的推广 4 群的外直积举例 二 群的内直积 1 群的内直积定义 2 群的内直积的充要条件 3 群的内直积定义的推广 三 群的内外直积,第2讲 群的直积,43,一 群在集合上的作用的定义 二 群在集合上的作用举例 1 置换群在集合上的作用 2 群在自身集合上的作用 3 群的共轭变换定义了群在它自身上的作用 4 群在自身的全体子群的集合上的作用

10、三 X中的元素x在G下的轨道 1 X中的元素x在G下的轨道定义 2 X中的元素x在G下的轨道举例 四 轨道的相关结论,第3讲 群在集合上的作用,44,第4讲 西罗定理,45,第一章 绪 论,46,绪 论,第一讲,47,48,一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际问题,49,一 关于代数的观念,从人们的观念上来看,人们关于代数的观念大致有三种： 1 用字母的代数 2 解方程 3 各种代数结构的理论,50,现代代数学的研究对象不再是以解方程为中心,而重点是研究各样的代数结构的代数性质以及它们之间的联系

11、.当然,所谓代数结构实际上就是带有运算的集合.一般说来,这些运算还适合某些所希望的若干条件. 初等代数、高等代数、线性代数都称为经典代数.它的研究对象主要是代数方程和线性方程组.而现代代数学也即近世代数(又称为抽象代数),其主要内容是研究,51,各种代数系统(代数结构),而对于代数结构,其基本成分则是集合和集合上的映射. 而近世代数就像古典代数那样,是关于运算的学说,是计算规则的学说,但它不把自己局限在研究数的运算的性质上,而是企图研究更具一般性的元素上运算的性质,这种趋向是现实中的要求所提示的.近世代数已广泛应用于近代物理学、近代科学、计算机科学、数字通讯、系统工程等领域.,52,二 数学史

12、的发展阶段,1 萌芽阶段 2 初等数学阶段 3 高等数学阶段 4 近代数学阶段 5 现代数学阶段,53,三 代数发展的阶段(数学发展史),54,四 代数学发展的四个阶段,代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段,55,1 最初的文字叙述阶段,古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学.此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达

13、法,代数运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方法.例如通过图形的组合可以得到 不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论,恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论(如勾股定理与勾股数.,56,2 简化文字阶段,缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数的简化文字阶段,这一时期大致延续到

14、欧洲文艺复兴时代. 丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,算术一书是丢番图留下来的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国数学家费马(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机.,57,3

15、符号代数阶段,这一阶段是经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到(它大致在17世纪完成).它的标志是用字母表示数,这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式.较早的代表著作是德国数学家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述综合算术.其利用10进制小数表示实数.对代数学的符号体系做出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家韦达(F.Viete,1540-1603).韦达是第一个系统使用字母表示数的人,在代数、三角学等许多方面都做出了杰出的贡献.,58,4 结构代数阶段,这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算,而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构.它

16、起因于年轻的法国数学家Evariste Galois(1811-1832)对代数方程式解的研究. Galois引入了群与扩域的工具,解决了高次方程的求根问题.这个问题是在16世纪中叶,两位意大利数学家G.Cardano(1506)与L.Ferrari(1545)发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题. Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径,发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性. Galois的研究不但确立了群论在数学中的地位,同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向. 在数学家们致力于解决高次方程的求根问题的同时,Carl Gauss(177

17、7-1855)为了解决Fermat问题,开始一般性的研究代数数域.他的学生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基础上引入理想数,使Fermat问题的研究推进了一步.直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论.,59,1834年爱尔兰数学家William R.Hamiton(1805-1865)在Gauss把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇特的不交换的数系,后来称之为Hamiton四元数. 三大进展奠定了近世代数学的重要基础.1931年荷兰数学家B.L.van.der.Waerden出版了两卷本,1955年该书第四版更名为.这一著作标志着群、环、域等抽象结构理论已

18、经成为现代代数学的主要研究对象,该著作同时也成为现代结构主义数学的起点.1951年美国数学家N.Jacobson又出版了新的代数学著作,书名为(共三卷).因此近世代数也被称为抽象代数.,60,五 几类与近世代数的应用有关的实际问题,1 项链问题 2 分子结构的计数问题 3 正多面体的着色问题 4 图的构造与计数问题 5 开关线路的构造与计数问题 6 数字通信的可靠性问题 7 几何作图问题 8 代数方程根式的求解问题,61,1)基本问题: 用黑白两种颜色的珠子做成有五颗珠子的项链,问可以做成多少种不同的项链？ 2)问题解决思路:枚举法 3)问题推广:用n种颜色的珠子做成m颗珠子的项链,问可做成多

19、少种不同类型的项链？,1 项链问题,62,数学表述,把m颗珠子做成一个项链用一个正m边形来代替,其中每个顶点代表一颗珠子.从任意正m边形一个顶点开始,沿逆时针方向,依次给每个顶点标以码:1,2,3, ,m.这样的一个项链称之为有标号的项链.由于每一颗珠子的颜色有n种选择,因此由乘法原理,这些有标号的项链共有 种.但是其中有一些项链可通过旋转一个角度或反转180度使它们完全重合.对于这些项链称它们为本质上是相同的.对那些无论怎样旋转或反转都不能使它们重合的项链,称之为本质上不相同的项链,即为问题所提的不同类型的项链.当n与m较小时,不难用枚举法求得问题的解答.但随着n与m的增加,用枚举法越来越难

20、,因而必须寻找更为有效的可解决一般正整数n与m的方法.采用群论可解决此问题,且至今尚未发现其它更为简单和有效的方法.,63,2 分子结构的计数问题,1)背景:在化学中研究有某几种元素可合成多少种不同物质的问题,可以知道人们在大自然中寻找或人工合成这些物质.,2)问题:在一个苯环上结合 原子或 原子团,问可以形成多少种不同的化合物？ 3)转化:如果假定苯环上相邻 原子之间的键都是互相等价的,则此问题就是两种颜色六颗珠子的项链问题.,64,其中:下图中外圈球右边两个每个代表一个 ,其余四个每个代表一个 ;内圈每个代表一个 .,65,3 正多面体的着色问题,1) 问题:用n种颜色对正六面体的面着色,

21、问有多少种不同的着色方法？ 2) 数学模型:为了将问题中的概念量化:设n种颜色的集合为 ,正六面体的面集合为 ,则每一种着色法对应一个映射: ,反之,每一个映射 对应一种着色法. 由于每一面的颜色有n种选择,所以全部着色法的总数为 ,但这样的着色与面的编号有关,其中有些着色可适当旋转正六面体使它们完全重合,对这些着色法,称它们为本质上是相同的.因而我们的问题转化为求本质上不同的着色法的数目. 当n很小时,不难用枚举法求得结果,如当n取2时,本质上不同的着色数为10,对于一般的情况则必须用群论方法才能解决.,66,4 图的构造与计数问题,1) 图的概念： 设 称为顶点集合,是由 的一些二元子集构

22、成的集合,称为边集,则有序对 称为一个图. 2) 图的画法: 每一个顶点用圆圈表示,对边集 中的每一对元素 用一条直线或曲线连接顶点 与 .顶点的位置及边的长短、形状均无关紧要.,67,一个图可以代表一个电路、水网络、通讯网络、交通网络、地图等有形的结构,也可以代表一些抽象关系.例如:可用一个图代表一群人之间的关系,其中点代表单个人,凡有边相连的的两个点表示他们之间互相认识,否则表示不认识,则这个图就表示出这群人之间的关系. 图论中自然会涉及到某类图有多少个的问题.,68,3)问题:画出所有点数为3的图. 解决办法:首先画出3个顶点:1,2,3,在每两个点之间有“无边”和“有边”两种情况,因而

23、全部有8种情况,每种情况对应一个图.,69,4)推广:当点数为 时,共可形成 个二元子集,每个二元子集可以对应图中的边或不对应边两种情况,故可形成 个图.我们观察上图中的8个图,可以发现有些图是完全相同的,如不考虑它们的顶点号,这些图可完全重合,这样的图称它们是同构的,可以看出:上图中有4个互不同构的图.那么,对于一般的情况,也即顶点数为 的图中互不同构的图有多少个呢?这个问题也不能用初等方法解决.,70,1)问题:一个有两种状态的电子元 件称为一个开关,例如普通的电灯开关、二极管等.由一些开关组成的二端网络称为开关线路.一个开关线路的两端也只有两种状态:通与不通.我们的问题是:用n个开关可以

24、构造多少种不同的开关线路？,5 开关线路的构造与计数问题,71,2)模型： 我们用 个变量 代表 个开关,每个变量的取值为0或1且代表开关的两种状态.开关线路的状态也用一个变量 来表示,它的取值也是 0或1代表开关线路的两种状态.是 的函数,称为开关函数,记为 ,其中每一个函数 对应一个开关线路. 3)数学计算： 由于每一个函数 对应一个开关线路,因而开关线路的数目就是开关函数的数目.又由于 的定义域的点数目为 ,在定义域的每一个点上的取值有两种可能.所以全部开关函数的数目为 ,这就是 个开关的开关线路的数目. 4)总结 上面考虑的开关线路中的开关是有标号的,有一些开关线路结构完全相同,只是标

25、号不同,我们称这些开关线路本质上是相同的.要进一步解决本质上的开关线路的数目问题,必须用群论方法.,72,6 数字通信的可靠性问题,现代通信中用数字代表信息,用电子设备进行发送、传递和接收,并用计算机加以处理.由于信息量大,在通信过程中难免出现错误.为了减少错误,除了改进设备外,还可以从信息的表示方法上想办法.由数字表示信息的方法称为编码.编码学就是一门研究高效编码方法的科学.以下通过两个简单的例子说明检错码与纠错码的概念.,73,简单检错码的编码方法:奇偶性检错码 设用六位二进制码来表示26个英文字母,其中前五位顺序表示字母,第六位作检错用,当前五位的数码中1的个数为奇数时,第六位取1,否则

26、第六位取0.这样编出来的码中1的个数始终是偶数个.例如:A:000011; B:000101; C:000110; D:001001 用这种码传递信息时可检查错误.当接收一方收到的码中含有奇数个1时,则可断定该信息是错误的,可要求发送者重发.因而,同样的设备,用这种编码方法可提高通信的准确度.但是,人们并不满足仅仅发现错误,能否不通过重发的办法,仅从信息本身来纠正其错误呢?这在一定程度上也可用编码方法解决.,74,简单纠错码的编码方法:重复码 设用3位二进制重复码表示A,B两个字母如下:A:000;B:111则接受的一方对收到的信息码不管其中是否有错,均可译码如下: 接收信息:000;001;

27、010;011;100;101;110;111 译 码: A ; A ; A ; B ; A ; B ; B ; B 这就意味着对其中的信息做了纠正. 利用近世代数方法可得到更高效的检错码与纠错码.,75,古代数学家们曾提出了一个有趣的作图问题:用圆规及没有刻度和记号的直尺可做出那些图形?为什么会提这样的问题呢?一方面是由于生产发展的需要,且圆规、直尺(最初的的直尺是无刻度的)是当时丈量土地的基本工具;另一方面,从几何学观点看,古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素.据说古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性.且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本的工具. 历史上有几个几何作图问

28、题曾经困扰人们很长时间,它们是: 1 二倍立方体问题 作一个立方体使其体积等于已知立方体体积的二倍. 2 三等分任意角问题 给定任意一个角,将其三等分. 3 圆化方问题 给定一个已知圆,作一个正方形使其面积等于已知圆的面积. 4 n等分一个圆周 这些问题直到近世代数理论出现以后才得到完全解决.,7 几何作图问题,76,8 代数方程根式求解问题,我们知道,任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解.对于一元三次和四次代数方程,故人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点.于是人们自然会问:是否任何次的代数方程的根均可用根式表示?许多努力都失败了,但这些努力促使了近世代数的产生,并最终解决了这个问

29、题. 19世纪初,法国数学家埃瓦里斯特伽罗华是法国数学家(varisteGalois,1811年10月25日1832年5月31日,与尼尔斯阿贝尔并称为现代群论的创始人.)在研究五次代数方程的解法是提出了著名的伽罗华理论,成为近世代数的先驱.但他的工作在当时未被数学家所认识,且由于且由于其它原因于21岁过早地去世了.直到19世纪后期,他的理论才有其他的数学家加以进一步的发展和系统阐述.,77,第一章练习题,78,第二章 基本概念,79,80,第二讲 基本概念之集合及其之间的关系集合,81,集合的概念是德国数学家康托尔(G.Cantor,1845-1918)于1894年所首先建立的.到现在,集合论

30、不仅已成为数学的一个专门理论和独立学科,而且广泛地应用到数学的各个分支. 在近世代数中,不仅每章每节甚至几乎处处离不开集合,由此可见集合的重要性.但这只是问题的一方面.另一方面我们在这里讲集合主要是为了在近世代数中讲最基本的概念:群、环、域而作准备,并不是要对集合本身的理论作太多和深入的阐述.这是因为,在近世代数中只用到集合的一些初步概念,诸如子集、真子集、集合的相等、幂集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它们的简单性质,而并不用到集合理论的其它内容及知识.,82,1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 3 集合与集合元素之间的关系属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集

31、合的表示方法 6 集合之间的内在关系包含关系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理,83,1 集合与集合元素的定义,集合正如像几何学中的点、线、面等概念一样, 也是一种不加定义而可直接引入的最基本的原始概念.,84,1.1 集合定义,把随便一些对象(事物)放在一起做为一个整体进行研究的话,这个整体就叫做集合(这是描述性定义);组成集合的对象或事物叫做这个集合的元素.,定义2.1,85,1)线性方程组AX=B的解向量的集合. 2)多项式f(x)的零点的集合. 3)数域P上所有m行n列的矩阵的集合. 4)延安市全体居民身份证号码的集合. 5)

32、延安大学数学与计算机科学学院2009级数学与应用数学专业的全体学生的集合. 6)延安大学2011年西安世界园艺会志愿者的集合. 7)大学生技能测试的所有项目的集合. 8)延安大学20112012学年第一学期所有公选课的课程名称的集合.,1.2 集合举例,例2.1,86,集合是不能严格定义的,因为定义是用已知概念去定义未知概念,然而集合是数学中的一个最基础及最基本的概念,不能再用其它数学概念来定义,正如哲学中的物质概念一样,它只能描述而不能定义.尽管集合没有定义,但我们都能理解它是什么意思,可以说具有特定性质的抽象或具体的事物的全体称为集合.,1.3 集合定义的注意问题,87,若干个(有限个或无

33、限个)固定事物的全体称为集合;组成一个集合的事物称为这个集合的元素(浓度或元数).,1.4 集合的等价定义,定义2.2,88,2 集合与集合元素的表示符号,集合:大写字母表示如,集合的元素:小写字母表示如,89,3 集合与集合元素之间的关系 属于关系,定义2.3,90,4.1 集合的分类标准及分类,标准1:元素的个数 分类:有限集合与无限集合,标准2:与自然数集合或其子集进行比较 分类:可数集合与不可数集合,定义2.4,4 集合的分类,91,4.2 集合等势的判断准则,定理2.1,92,4.3 集合等势的判断准则的应用,例2.2,例2.3,例2.4,93,94,95,问题,96,5 集合的表示

34、方法,给出集合的方式,不外乎以下两种 列举法:把集合中的所有元素都描写出来(也 即列出它的全部元素).但须注意列举法不仅可以表示有限集合,而且还可以表示有些有规律的无限集合. 描述法:用性质描述出集合(也即给出这个集合中的元素所具有的特征性质).,定义2.5；定义2.6,97,子集:设 是两个集合,如果集合 的 每一个元素都是集合 的元素,那么就称集合 是集合 的子集,记为: 读作集合 属于集合 (集合 包含集合 或集合 被包含于集合 ).,6.1 子集定义,定义2.7,6 集合之间的内在关系包含关系,98,真子集:设 是两个集合,如果集合 的每 一个元素都是集合 的元素,但集合 中至少 有一

35、个元素不属于集合 ,那么就称集合 是 集合 的真子集,记作 .,6.2 真子集定义,定义2.8,99,集合相等:如果集合 与集合 是由完全相同的元素组成的,就说集合 与集合 相等,记作,6.3 集合相等的定义,定义2.9,100,性质1,定理2.2,6.4 几个定义的逻辑等价式,101,性质2(包含关系),定理2.3,6.5 几个关系的自反性、反对称性、对称性及传递性,102,性质3(相等关系),定理2.4,103,性质4(真包含关系),定理2.5,104,7.1 集合运算定义,定义2.11-2.17,7 集合运算,105,106,7.2 集合运算之关于子集之间的运算,定义2.18-2.24,

36、107,108,7.3.1 文氏图的用法,文氏图可以用来描述集合之间的关 系及其运算.在文氏图中全集用矩形表示, 子集用圆形区域表示, 阴影区域表示运算 结果的集合.,7.3 集合的图形表示文氏图,109,7.3.2 文氏图的特点,文氏图表示法的优点是直观和形象, 富有启发性,帮助我们理解各种概念和定 理,所以文氏图可作为思考的出发点.,110,7.3.3 文氏图应注意的问题,但文氏图绝不能用作推理的依据, 因为直观是不可靠的,只有逻辑推理才 是可靠的.,111,7.3.4文氏图的适用范围,当集合的数目较多时,文氏图将变 得很复杂.也即对于集合的数目较少时, 文氏图适用.,112,7.3.5.

37、1 AB 可用下图阴影部分表示,B,B,A (B),A,(2) 若B A 则 AB = B,(3) 若A = B 则AB = A = B,(1)若A B 则AB = A,A,7.3.5 文氏图表示举例,例2.5,113,A,B,A,B,A与B相切 相交的特例,A,B,(5)A与B分离 AB = ,(4)A与B相交 ABA ABB,ABA ABB AB= ,114,7.3.5.2 AB 可用下图阴影部分表示,(1)若AB 则AB = B,B,A,B,A (B),A,(2) 若B A则AB = A,(3) 若A = B则AB = A = B,115,A,B,(4)A与B相交 AB,A,B,(5)A

38、与B相切 相并的特例,A,B,(6)A与B分离 AB,116,117,118,7.4 元素不属于集合运算结果的判断准则,定理2.6,119,8 运算律,定理2.7,120,9 特殊集合的表示符号及性质,第一类:空集 ;全集: 空集的绝对唯一性;全集的相对唯一性;空集表示形式的多样性.,121,第二类:特殊集合,122,10 集合的补充说明,集合的概念应注意以下几点： 1)元素的确定性； 2)元素的无序性； 3)元素的互异性； 4)集合可以作为元素,但是不能做为它自己的元素； 5)元素与集合之间的关系是个体与整体的关系,应严加区分.,123,11.1 包含与排斥原理的特殊形式,定理2.8,11

39、包含与排斥原理,124,11.2 包含与排斥原理举例,例2.6,例2.7,例2.8,125,126,127,128,129,130,131,思考题,1)包含关系的重要性质有那些？2)相等关系的重要性质有那些？3)运算律是否成立及如何得出？4)写出集合的并、交、差这三个 运算所适合的所有运算律并加以 证明.,132,1)写出并证明包含排斥原理的一般形式. 2)举出包含排斥原理在现实生活中的应用实例三个.,习题,133,第三讲 基本概念之 集合及其之间的关系对应关系(映射)(人造关系),134,1 映射概念回忆 2 映射及相关定义 3 映射的充要条件 4 映射举例 5 符号说明 6 映射的合成及相

40、关结论 7 映射及其映射相等概念的推广 8 集合及其之间的关系特殊的映射(代数运算） 9 集合及其之间的关系一一映射,135,： 映射是两个集合之间建立的一种联系,也是近代数学上最基本的概念之一,我们借助“法则”来说明映射的含义. ： ：,1 映射概念回忆,136,2.1.1映射的定义,定义2.25,2.1 映射的定义及图形,2 映射,137,2.1.2映射的图形,定义2.26,138,2.2 定义域、像、原像的定义,定义2.27,139,2.3 映射与通常函数的关系,140,141,142,3 映射的充要条件,定理2.9,143,4.1,例2.9,4 映射举例,144,145,146,4.2

41、,例2.10,147,4.3 从映射举例观察结论,148,4.4 映射相等,定义2.28;定理2.10,149,5 符号说明,150,6.1 映射的合成的定义,定义2.29,6 映射的合成,151,6.2 映射合成的性质,定理2.11,152,7.1 映射的一般概念,定义2.30,7 映射概念的推广,153,7.2 映射相等,定义2.31,154,设 和 是任意三个非空集合,则 到 的任何一个映射 都称为从 的一个代数运算.,8.1 代数运算定义,定义2.32,8 集合及其之间的关系,155,1)代数运算是特殊映射； 2)代数运算是具有普通计算法的特征(也即所给代数运算能够对a与b进行运算,而

42、得到一个结果d=ab.),8.2 代数运算定义观察,156,8.3 代数运算描写符号,157,当元素a=b时, a与b 的次序对代数运算没有影响, a与b的次序可以调换,只是说ab与 ba 都有意义.但并不是说ab=ba.,8.4 代数运算问题思考,158,8.5 有限集合代数运算运算表,159,假如 是一个 的代数运算,也即说集合 对于代数运算 是封闭的,也说 是集合 的代数运算或二元运算(二元合成).,8.6 代数运算的特例：二元合成定义,定义2.33,160,8.7 代数运算的特例:二元合成举例,例2.11,161,9.1 特殊映射的定义,1 满射的定义 2 单射的定义 3 一一映射的定

43、义 4 逆映射的定义,9 集合及其之间的关系(特殊映射),162,9.1.1 满射的定义,若在一个集合A 到集合B 的映射f之下,集合B的每一个元都至少是集合A中某一个元的像,那么f叫做从集合A到集合 B的一个满射.这时有 f(A)=B. .,定义2.34,163,若在一个集合 到集合 的映射 之下,集合 中任意两个不同元素在 集合 中的像不相同,那么 叫做从集 合 到集合 的一个单射.,9.1.2 单射的定义,定义2.35,164,如果 既是满射又是单射,即如果 满足下列条件: 1) ; 2) 那么就称 是集合 到集合 的一个双射.,9.1.3 一一映射的定义,定义2.36,165,9.1.

44、4 逆映射的定义,定义2.37-2.39,166,9.2 特殊映射的等价命题,1 单射的等价命题,2 满射的等价命题,3 双射的等价命题,4 可逆映射的等价命题,167,9.2.1 单射的等价命题,定理2.12,168,169,170,171,172,9.2.2 满射的等价命题,定理2.13,173,证明,174,证明,175,176,177,9.2.3 双射的等价命题,定理2.14,178,9.2.4 可逆映射的等价命题,定理2.15,179,9.3 一一映射的性质 。,180,1)假设 是一个有限集合, 是一个映射,则 2)假设 是一个有限集合,则,9.4 有限集合上几个充要条件,定理2.

45、16;2.17,181,9.5 时的特殊映射变换,一个A到集合A的映射叫做集合A的一个变换;一个A到集合A的满射、单射、一一映射叫做集合A的一个满射变换、单射变换、一一变换.,定义2.40,182,9.6 特殊变换单位变换的定义,定义2.41,183,1)举出三个现实生活中映射的例子.2)举出四个现实生活中代数运算的实例.,思考题,184,应用题,1)你站在某地,你的四周比你所在位置的高低能否建立一个映射呢? 2)能否构造一个集合B,使得大学毕业生的集合与B之间可以建立映射?能建立一一映射吗?(注意:大学毕业生的集合你也可以规定,但不是几个人应该是一个学校或一个专业或一个县的大学毕业生的集合)

46、 3)利用体育上的由:向左转、向右转、向后转、原地不动 这几个动作要领能否建立一个映射呢?,185,186,187,第四讲 基本概念之 代数运算适应的规则 运算律,188,一 与一种代数运算发生关系的运算律 （一）结合律 （二）交换律 （三）消去律 二 与两种代数运算发生关系的运算律 （一）第一分配律 （二）第二分配律,189,问题,给一个集合赋予了代数运算后,犹如使一潭死水泛起了波澜,好比对这集合赋予了生命. 一个代数运算是可以任意规定的,但未必都 会有用,即任意取几个集合,任意规定几个代数运 算,很难希望得到好的结果,因而在以后所遇到的 代数运算都适合一些从实际中得来的规律(结合 律、交换

47、律、分配律),分与一种运算(结合律、 交换律)、两种运算(分配律)发生关系的运算律.,190,1 结合律未必都成立,例2.13,例2.12,（一）结合律,一 与一种代数运算发生关系 的运算律,191,2 结合律的定义,假如对于集合 上的任意三个 元素 来说,都有 , 则称一个集合 上的代数运算 适合 结合律.,定义2.42,192,3 加括号的方式(有多少种呢?),在 中任意取出 个元素 假如我们写下这个记号 这个符号在现在当然没有意义了。只有加上括号才有意义,但是加括号的步骤不止一种,假设共有 种,我们把由这 个步骤所得的结果用以下式子来表示: 这 个式子当然未必相等,但是它们也可能相等。

48、也未必有意义,何时有意义呢?,193,4 有意义的情形 假如对于 的任意 个固定的 元素来说,所有的 都相等,这时就把由这些不同的加括号步骤得到的唯一结果用下式表示: 这时此式也就有意义了.,194,5 结合律定理,假如一个集合 的代数运算 适合结合律,那么对于 的任意 个元素 来说,所有的 都相等,因而以下的符号: 也就有意义了.,定理2.18,195,设集合 上的代数运算 适合结合律,则对于 中的任意 个元素 来说,只要不改变元素的排列顺序,任何一种加括号方法计算所得的结果都相同.,结合律定理的等价形式,定理2.19,196,5 结合律定理的证明,证明,197,1 交换律的定义,一个 到

49、的代数运算 适合交 换律.假如对于集合 的任意两个元素 ,都有 .,定义2.43,（二）交换律,198,2 交换律未必都成立,例2.13,例2.14,199,3 交换律定理,假如一个集合 的代数运算 同时适合结合律和交换律,那么在 里,元素的次序的互换不影响运算结果。,定理2.20,200,4 交换律定理证明,证明,201,（三）消去律,定义2.44,202,1 问题的提出,结合律和交换律是只同一种代数运算发生关系,而分配律是同两种代数运算发生关系的一种规律.,二 与两种代数运算发生关系的运算律 分配律,203,2 第一(左)分配律,定义2.45,204,定理2.21,205,3 第二(右)分

50、配律,定义2.46,206,定理2.22,207,练习题,1)判断下列定义在有理数集合上的代数运算是否适合结合律、交换律、左消去律、右消去律？,208,209,210,思考题,1)现实生活中的代数运算是否都适合这三个运算律,举例说明. 2)利用运算表如何判断交换律、结合律及左消去律、右消去律是否成立？,211,补充,例2.15,证明,212,第五讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 同态映射,213,1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例,214,1 同态映射,215,(1) 问题的提出,216,217,218,(2) 举例并观察结果,例2.17,例2.16,21

51、9,(3) 同态的定义,定义2.47,220,2 同态满射 （1）同态满射的定义,定义2.48,221,（2）同态满射在比较两个集合上的结论,定理2.23,222,的等价定理,定理2.23,定理2.24,223,证明,224,证明,225,定理2.25,226,的等价定理,定理2.26,定理2.25,227,证明,228,证明,229,(3) 举例,例2.17,例2.16,230,3 同构映射 （1）同构映射的定义,定义2.49,231,1） 2）同构映射的逆映射还是同构映射; 3）同构映射的合成还是同构映射.,（2）同构映射的性质,定理2.27,232,（3）同构映射在比较两个集合上的结论,

52、定理2.28,233,定理2.29,234,的等价定理,定理2.30,定理2.28;2.29,235,同构的两个代数系统由运算所带来的规律性是相同的,因此,同构的两个代数系统尽管可能有这样或那样的差别,但从近世代数的宗旨来看,我们自然认为:它们的差别是表面上的,次要的,而它们的共同点运算所体现的规律性则是本质的,主要的.于是,我们需要阐明近世代数的观点是:凡同构的代数系统都认为是(代数)相同的.,（4）同构的两个集合之间关系的结论,236,在上述的观点下,一个代数系统经同构 映射而保持不变的性质叫做它的代数性质. 于是,由代数运算所表述的任意一个性质都 是代数性质.我们将代数体系的代数性质的 总合统称为它的代数结构.因此,同构的代数 体系由于完全相同的代数结构.研究代数体 系的首要目的就是确定所有互不同构的的 代数结构.而为了确定一个代数结构,只须 让它与一个已经清楚的代数结构同构则可.,237,定理2.31,238,4 自同构,定义2.50,239,同态 映射,同态 满射,单射,同构 映射,满射,自同态 映射,自同态 满射,自同构 映射,满射,单射,240,5 举例,例2.20,例2.19,例2.18,241,例2.21,例2.22,242,例2.23,243,例2.