高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式2教案新人教A版必修

1、3.1.2不等关系与不等式(一)项目内容课题3.1.2不等关系与不等式（一）（共1课时）修改与创新教学目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积

2、极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点 1.利用数轴，数形

3、结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师 我们已学

4、习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向_.（让同学回答）性

5、质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向_.（让同学回答）过程引导师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：aba+cb+c（或a-cb-c）；aba+cb+c（或a-cb-c）.性质2：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).性质3：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.师 很好

6、，c可以为零吗？生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“”或“”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）教师精

7、讲师若点对应的实数为a，点对应的实数为b，因为点在点的左边，所以可得ab.ab表示a减去b所得的差是一个大于的数即正数，即aba-b0.它的逆命题是否正确？生 显然正确.师 类似地，如果ab，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于，它们的逆命题也正确.一般地,aba-b0;a=ba-b=0;aba-b0.师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师 由实数的基本性质可知，我

8、们如何比较两个实数的大小呢？生 只要考察它们的差就可以了.师 很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)合作探究【问题1】 已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x0，得x20，从而(x2+1)2x4+x2+1.（学生对x0，得x20在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况

9、作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（ab）.(1)与 (a0,b0);（2）a4b4与4a3（ab）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1），a0,b0且ab,a+b0,(a-b)20.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2,2a2+(a+b)20(当且仅当a=b=0时取等号),又ab,(a

10、-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20.a4-b44a3(a-b).师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差变形判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)合作探究【问题2】 求证：（1）ab且c0acbc；（2）aba+cb+c.师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，ab,a-b0.又c0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c0，即acbc.师 这

11、位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac-bc=(a-b)c，ab，a-b0.又c0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c0，所以得证.师 这位同学证明得是否正确？生 正确.师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式

12、证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，ab，a-b0，a+cb+c.师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)例题剖析已知ab0, c0，求证：.师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等

13、式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.ab0，两边同乘以正数，得，即b.又c0，.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）ab,bc ac;ab,bc a-b0,b-c0 (a-b)+(b-c)0a-c0ac.（2）aba+cb+c;aba-b0 (a-b)+(c-c)0 (a+c)-(b+c)0a+cb+c.（3）ab,c0acbc;ab,c0a-b0,c0 (a-b)c0ac-bc0a

14、cbc.（4）ab,c0acbc.ab,c0a-b0,c0 (a-b)c0ac-bc0acbc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入 方法引导 方法归纳不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结示范解题教学反思在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不