高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案(含解析)新人教A版选修

1、11.3导数的几何意义学习目标1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义3会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋

2、近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .预习导引1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y .要点一过曲线上一点的切线方程例1若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解yx33ax.y 3x23xx(x)23a3x23a.

3、设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.规律方法一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程跟踪演练1求曲线y在点处的切线方程解因为 .所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)

4、由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y相切的直线方程解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y|xx0 ，得所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在直线

5、上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为xy20.要点三求切点坐标例3在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角解f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点(3)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点规律方法解答此类题目时，所给

6、的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等跟踪演练3已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x

7、08，得x02，该点为(2,9)1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由题意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D165答案B解析yx22，y x.y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.4已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐

8、标为_答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示

9、出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1下列说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(x

10、B)Cf(xA)f(xB)D不能确定答案B解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB)3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C(，) D(，)答案D解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y2，所求点的坐标为.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 BC D1答案A解析y|x1 (2aax)2a.可令2a2，a1.5设yf(x)为可导函数，且满足条件 2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是_答案4解析由 2，f(1)2，f(1)4.6已知函数y

11、f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在M点的切线方程yx2得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.7求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.过点P(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.二、能力提升8.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A2 B3C4 D5答案A解析易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(

12、5)312.9若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P_.答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f(x0)4x040，x01，即切点坐标为(1,1)24P1，即P3.10设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为_答案解析f(x) (x2x2)2x2.可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x02.由已知得02x021，1x0，点P横坐标的取值范围为.11已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解(1) 由得或抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，y (x2

13、x)2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.12设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.当x无限趋近于零时，无限趋近于3x2ax09.即f(x0)3x2ax09f(x0)3(x0)29.当x0时，f(x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，a3.三、探究与创新13已知曲线C：yx3.(1)