圆的内接三角形和四边形.习题集(2014-2015)-教师版

1、圆的内接三角形和四边形课堂练习一、三角形【例1】 如图所示，内接于，若，则的大小是（ ）A B C D【答案】B【解析】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和圆有关的题目是往往要添加圆的半径解：如图，连接，是等腰三角形， 【例2】 如图所示，点、在上，且若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有（ ）A1 个 B2 个C2 个 D4个【答案】D【解析】,弦不是直径，不是等边三角形（1）当时，是等腰三角形，这时点是弦的垂直平分线与圆的交点，有两个；（2）当时，这样的点只有一个（3）当时，这样的点只有一个综上可得符合条件的点有4个【例3】

2、如图，已知的半径，弦的长为，点的弦所对优弧上任意一点（、两点除外）（1）求的度数；（2）求面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】考查学生的应用能力，圆中求角（线段）常转化为直角三角形解决利用垂径定理的构造直角三角形，把已知条件结合在一块（可以利用特殊角用勾股定理直接求）（1） 连结、，过作与点解,求的度数， 或连结并延长，交于，连结，解,求（2） （是边上的高），不变，当最大时，最大，此时点应落在优弧的中点处，然后再求解：（1）方法一：如图，连结、，过作交于点,在中，,方法二：如图，连结并延长，交于点，连结是直径，在中，（2）因为的边的长不变，所以当边上的高最大时，的面积最大，此时点应落在

3、优弧的中点处如图，过作于点，延长交于点，则为优弧的中点连结，则，在中，【例4】 已知，如图，在中，,以为直径的分别交、于点、,连结交于点（1） 求证：；（2） 若,求的长【答案】（1）略 （2）3【解析】（1）联结是的直径，, （2）方法一：，在、中， 设，则有，解得：， 方法二： 设，在、中，解得：方法三：，【例5】 如图，已知是的外接圆，为劣弧的中点，为劣弧的中点连接，交于点，连接，交于点，延长到点，使，延长到点，使，的延长线交于点求证：（1）；（2） 【答案】连接，是劣弧的中点，是劣弧的中点，即【例6】 如图，的两个顶点在圆上，顶点在圆外，分别交圆于两点，连结若与的面积相等，试判定的形状

4、（山东潍坊中考）【答案】方法一：连接，四边形是等腰梯形，是等腰三角形方法二：，可知和的相似比为1，是等腰三角形【例7】 如图，是的两条弦，它们相交于点，连结，已知，求的长【答案】连结，即，又，解得（舍负）【例8】 如图，半径为的内有互相垂直的两条弦相交于点（1）设的中点为，连结并延长交于，求证：；（2）若，求的长（湖北荆门中考）【答案】（1），是中点，即（2）过点作，垂足分别为由垂径定理得，易证得四边形是矩形， 二、四边形【例9】 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（ ）A B C D 【答案】B【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定

5、义以及等角的补角相等解：四边形ABCD是圆内接四边形，而，而，【例10】 已知：四边形是的内接四边形，则等于（ ）A B C D【答案】D【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等解：四边形是的内接四边形【例11】 已知是的直经，是弦，若，求由四点构成的四边形的周长【答案】（1）如图1，弦在直径的异侧，连结是直径，在中，则，在中，则，四边形周长为（2）如图2，弦在直径的同侧，连结，过点作于是直径，在中，则，在中，则，设，则，在中，即，整理得，解得，四边形周长【例12】 如图，的内接四边形中，点是弧的中点，于点求证： 【答案】在上截取，连接，是

6、的中点，即【例13】 如图所示，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结（1）求证：；（2）若圆的半径为，求的面积【答案】（1）平分，平分，（2）连结，是等边三角形 ，【例14】 已知四边形内接于，对角线，为线段的中点求证：【答案】证法一：如图，设四边形内接于圆，且，为之弦心距作的弦心距，连接、显然的度数，又，即证法二：如图，作直径，连接、为中点，即，证法三：如图，设、交于，为之中点连接延长垂直于连接延长必垂直于连接，同理为平行四边形，而（是斜边上的中线），【例15】 已知圆内接四边形中，如图，则_【答案】连接，由，知，因而，【例16】 已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时

7、针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不必证明）；【答案】不变， 四点共圆（选讲）【例17】 已知：如图，的内接中，并交的延长线于，交于（1）求的度数；（2）求证：；（3）求的值（西城初三上期末）【答案】（1）连结，的内接中， （2），（3）解法一：延长交延长线于，连结，即的值为解法二：作于，设的半径为，易得，且，则，【例18】 在中，是它的外接圆上包含点的的中点，上的点使得，求证：【答案】解法一：过点作交于，过点作于，解法二：如图，在上取一点，使得，连接，由，又是圆上包含点的弧的中点又，解法三：

8、如图，过点作交延长线于，连结，是圆上包含点的弧的中点，又，（类似此方法还可以“延长到，使，连结”）解法四：如图，延长到，使，连结，是圆上包含点的弧的中点，此法还可以连接，利用等腰三角形的性质可以证得结论【例19】 如图，内接于，的平分线与交于点，与交于点，延长与的延长线交于点，连结，是的中点，连结（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：；（3）若，求的面积（四川成都中考）【答案】（1）连结，是的中点，（2）是直角三角形，且，（3）由（1）可知，即，是的平分线，设的半径为，是的直径，是等腰三角形，解得，的面积为课后作业【练1】 如图，是等边的外接圆，的半径为2，则等边的边长为（ ）A B C D【答案】C【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法解：连接，并作于，则，【练2】 如图半径为2，弦，为弧的中点，为弦的中点，且