高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥

1、【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥(备课资料)一、对几种棱柱的理解1.斜棱柱的底面可以是正多边形,此时侧棱不垂直于底面,所以它不是直棱柱.2.直棱柱的底面可以是正多边形,所以正棱柱是直棱柱的特例.3.在斜棱柱的侧面中,有的可以是矩形,如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形,那么它们的公共侧棱垂直于底面.此棱柱一定为直棱柱.二、对于四棱柱中关系的理解三、参考例题例1在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AD=3,A1A=4,AB=5,DAB=60,那么这个直平行六面体的对角线AC1与BD1的长分别是A.和B.和C.和D.和分析：将“空间问题平面化”的思想应用到解题中,再结合平面几

2、何中的勾股定理、余弦定理使问题获解.解析：AD=3,AB=5,DAB=60，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos60.BD=.而BD12=AA12+BD2,BD1=.同理可求得AC1=.答案：A例2用一个过四棱柱底面一边的平面截正四棱柱,截面是A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理.解析：正四棱柱ABCDA1B1C1D1,过棱AB的平面ABEF交对面CDD1C1于点E、F.平面ABB1A1平面CDD1C1,ABEF.AB平面BCC1B1,且BE平面BC1,ABBE.ABEF是矩形.答案

3、：B评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中,可使问题变得简单易求.例3四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是菱形,且AB=AD,求证：（1）对角面AACC截面ABD；（2）对角面DDBB是矩形.分析：（1）中通过寻求线面垂直去实现面面垂直.（2）中依据矩形的判定方法证得.证明：（1）连结AC与BD交于点O,连结AO.AB=AD,AOBD.底面ABCD是菱形,ACBD.BD平面AACC.又BD平面ADB,对角面AACC截面ABD.（2）由（1）知BDAA且AABB,BDBB.对角面DDBB是矩形.评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题,需对四棱柱的有关性质熟练掌握,否则思维受

4、阻,无法继续做下去.四、参考练习题在长方体AC1中,CC1=15,CD=20,求线段B1D和BC之间的距离.解：连结AB1、DC1,BC平面AB1C1D.BC与B1D之间的距离转化成了BC与平面AB1C1D之间的距离.又平面BB1A平面AB1C1D,过点B作BHAB1于点H,BH平面AB1C1D.BH的长为所求距离.在RtAB1B中,有BH=12,B1D和BC间的距离为12.注意：在多面体中,利用线线关系、线面关系,把空间问题转化为平面问题,最终化为解三角形问题,是立体几何中的常用技巧.备课资料一、教学中应重视平面图形立体化思想平面图形立体化与立体图形平面化是两个相反的过程,也是互逆的思想.在

5、平面图形立体化过程中,应要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质,并且在将一个平面图形折叠或剪拼成立体图形后,能分清已知条件中哪些变化了,哪些未发生变化,而这些未发生变化的已知条件都是分析和解决问题的重要依据,试举两例.例1下图是正方体的一个展开图,当用它合成原来的正方体时,与边P重合的边是哪一条？分析：此题可先将正方体合成,问题很快得到解决,若只考虑边的重合,会更快地得出结论.解：首先有L和K重合,其次有I和J重合,则P与H重合.例2如图,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何

6、体（以后要学习的四面体）,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G,那么在这个几何体中必有A.SGEFG所在平面B.SDEFG所在平面C.GFSEF所在平面D.GDSEF所在平面分析：题目中的SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S,这些条件在折叠后仍然不变,应从这一点入手解决此问题.解析：SG1G2G3是一个正方形,SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S.折叠后的几何体中一定有SGGE,且SGGF,即SGEFG所在平面.答案：A评述：这道题貌似涉及几何体（四面体）的概念,实则主要用来巩固直线和平面垂直的判定定理,培养学生的空间想象力.二、平行六面体性质的应用举例例3已知直平行六面体的侧

7、棱长为100 cm,底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm,底面的两条对角线的比是23,求它的两个对角面的面积分别是多少？分析：直平行六面体的对角面是矩形,本题关键是求出底面两条对角线的长,可应用方程思想解之.解：已知AC1是直平行六面体,故它的两个对角面都是矩形,其侧棱AA1就是矩形的高.由题意,得AB=23 cm,AD=11 cm,AA1=100 cm.BDAC=23,设BD=2x,AC=3x,在平行四边形ABCD中,BD2+AC2=2（AB2+AD2）,即（2x）2+(3x)2=(232+112)2.x=10.BD=2x=20,AC=3x=30.SBDD1B1=BDBB1=20100

8、=2000 (cm2),SACC1A1=ACAA1=30100=3000 (cm2).它的两个对角面的面积分别是2000 cm2、3000 cm2.评述：在立体几何的运算中,要注意方程思想的应用,适当地选取未知数,找出等量关系.对于平行四边形对角线的性质,不仅其本身作用较大,而且可以推广到空间,即平行六面体各棱的平方和等于对角线的平方和.备课资料一、教学中“整体思想”解题的应用例1长方体的全面积为11，十二条棱长度之和是24，求这个长方体的一条对角 线长.分析：要求长方体对角线的长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可.解：设此长方体的长、宽、高分别是x、y、z,对角线长为l,依题意,得由

9、,得x+y+z=6,从而由长方体对角线性质,得l=5.长方体一条对角线的长为5.评述：本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力.在求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的从整体上导出x2+y2+z2.这就是数学中常用的一种技巧，给我们比较灵活的感觉.例2直平行六面体的底面是菱形，过不相邻两对侧棱的截面的面积是Q1和Q2，求它的侧面积.分析：由直棱柱的对角面面积求出底面边长或周长以及侧棱长，从而达到求出侧面积的目的.解：设直平行六面体AC1的底面边长为a,侧棱长为l.AC1是直平行六面体,对角面ACC1A1和BB1D1D是矩形.Q1=lAC,Q2=lBD.AC

10、=,BD=.底面ABCD是菱形,AC2+BD2=4a2,即（）2+()2=4a2.l2a2= (Q12+Q22),al=.S侧=4al=2.评述：以上例题同样采用了整体求法的手段，即没有单独去求a和l的值，而是求出a和l之积，从而简化了解题过程.二、求棱柱侧面积的方法的应用例3斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b,AA1与底面相邻两边AB、AC都成45角，求棱柱的侧面积.解法一：如图作A1O面ABC于点O，AA1与AB、AC都成45角，AO是BAC的平分线.又ABC为正三角形,AOBC.由三垂线定理可知AA1BC，又AA1BB1CC1，四边形BB1C1C为矩形,S

11、侧=2absin45+ab=(+1)ab.解法二：作BMAA1于点M，连结CM，可证得BMACMA，CMAA1.又BMC是棱柱的直截面,MAB=MAC=45,CM=BM=a.C直截面=a+a+a=(+1)a.S侧=（+1）ab.评述：解法一是采用求各侧面面积之和来求侧面积的;解法二是先作棱柱的直截面，利用直截面周长与侧棱长之积求得侧面积.例4斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，AB=AC=10 cm,BC=12 cm,A1到A、B、C三点距离相等，AA1=13 cm,求这个斜三棱柱的全面积.解：如图，在侧面A1ABB1中作A1DAB于点D，由A1A=A1B,D是AB的中点，那么A1D2=

12、A1A2-AD2=132-52.A1D=12 cm.SA1ABB1=SA1ACC1=A1DAB=120 cm2.取BC的中点E，连结A1E、AE.由已知A1B=A1C，AB=AC,得A1EBC，AEBC.BC平面A1AE.BCA1A.又A1AB1B，BCB1B.侧面BB1C1C是矩形.SBB1C1C=BB1BC=1312=156 (cm2).S侧=2SA1ABB1+SBB1C1C=2120+156=396 (cm2).而AE=8 (cm),S底=BCAE=128=48 (cm),S全=S侧+2S底=396+248=492 (cm2).例5斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1=20 cm,平

13、面B1A1AB与平面A1C1CA所成的二面角为120，AA1与BB1、CC1的距离分别为16 cm、24 cm,求此三棱柱的侧面积.分析：求斜棱柱的侧面积可求各侧面面积之和，也可以求它的截面周长C与侧棱长l的乘积.解法一：在AA1上取一点E，过E在平面AA1B1B作中GEAA1,交BB1于点G，过E点在平面AA1C1C中作EFAA1，交C1C于点F，则GEF为已知二面角的平面角，所以GEF=120.又AA1平面GEF，由棱柱的性质,可得AA1B1BC1C，BB1平面GEF.又GF平面GEF，BB1GF.由题意,知GE=16 cm,EF=24 cm.GEF=120,在GEF中，GF=8 cm,又

14、SA1ABB1=AA1GE=2016=320 (cm2),SA1ACC1=AA1EF=2024=480 (cm2),SB1BCC1=BB1GF=208=160 (cm2),S斜棱柱侧=SA1ABB1+SA1ACC1+SB1BCC1=320+480+160=160（5+）(cm2).解法二：在侧棱A1A上取一点E，过E作AA1的垂面分别交BB1、CC1于点G、F，连结FG，则平面EFG为斜三棱柱ABCA1B1C1的直截面.由题意AA1面EFG,AA1EG，AA1EF.GEF为已知二面角的平面角.GEF=120,又GE=16 cm,EF=24 cm,在EFG中，由余弦定理得FG=8cm.S侧=lC

15、=20(16+24+8)=160(5+) (cm2).备课资料参考例题例1在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=a,BC=b,AA1=c,且ABC=90,求AB1和BC1所成角的余弦值.分析：利用正方体中棱与棱、对角线与棱、对角线与对角线的关系，找到或作出异面直线所成的角，然后进行计算.解：如图,延长CC1至点D，使C1D=CC1，连结B1D，则有B1DBC1，ABD1或它的补角就是异面直线AB1和BC1所成的角，连结AD.AB12=a2+c2,B1D2=BC2+CC12=b2+c2,又AD2=a2+b2+(2c)2,在AB1D中,AD2=AB12+B1D2-2AB1B1DcosAB1D,co

16、sAB1D=-.AB1与BC1所成的角是AB1D的补角，它的余弦值为.评述：(1)两条异面直线所成角的范围是（0，.(2)本题目可以使用同样一个直三棱柱拼补成一个长方体求解.例2已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，高为5，过AB作一个截面，截面与底面成60角.求截面的面积.分析：（1）先确定截面形状，即截面是与棱交于线段上或其延长线上.（2）由截面形状是三角形或梯形，进一步求出面积.解：设过AB的截面与侧棱CC1（或延长线上）交于一点P（如图），取AB的中点为D，连结PD、CD，由CAB是正三角形知CDAB，再由三垂线定理知PDAB，故截面PAB与底面ABC所成二面角的平面角就是PD

17、C，由已知PDC=60.CD=,BA=,PC=CDtanPDC=3.P在侧棱CC1上，截面为PAB.PD=2CD=2,SPAB=PDAB=22=2.评述：若其他条件不变，将棱柱的高改为h,求截面面积，这就需要讨论，同学们可以验证：当n3时，截面为等腰三角形，顶点在侧棱CC1上，面积为定值2；当nCC1.因此点F在CC1的延长线上.连线BF、DF分别交B1C1于点M，交D1C1于点N，连结MN，则过B、D、E的截面为BMND.又BD平面A1B1C1D1,MNBD且MNBD.截面为等腰梯形，根据平面几何相似三角形的性质得=，显然=.由正四棱柱的性质,可知C1M=C1N,NC1=CD=a.SCBD=

18、a2,SC1MN=a2,VC1MNCBD=a3.a3为正四棱柱AC1的体积,VD1A1B1MNABD=a3-a3=.VC1MNCBDVABDD1A1B1MN=1341,即截面将正四棱柱分成两部分的体积比为1341.备课资料一、准确把握棱锥的概念例1下列定义的棱锥中不是正棱锥的是A.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥B.底面是正多边形，侧棱都相等的棱锥C.底面是正多边形，侧面与底面所成的角都相等的棱锥D.侧棱都相等，侧面与底面所成的角都相等的棱锥分析：紧扣正棱锥的定义，分析它们的特征：（1）底面是正多边形；（2）各侧棱长都相等.解：棱锥侧棱与底面所成的角相等,棱锥顶点在底面上的射影是

19、底面中心.A正确.棱锥侧棱都相等,顶点在底面正多边形上的射影是底面的中心.B正确.侧面与底面所成的角相等,由高、斜高及斜高在底面上的射影组成的三角形全等.顶点在底面正多边形上的射影是底面的内心.斜高相等.侧棱相等.由侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底边构成的直角三角形全等.底面边长相等.顶点在底面上的射影是底面中心.D正确.C中侧面与底面所成的角可以侧向棱锥内部或外部,C是不正确的.答案：C评述：这是一个否定命题，与习惯的问题提法不同，所以，一定要紧扣概念、性质、基本特征，进行分析和判断.例2下列命题中，真命题的个数是两相邻侧棱所成的角相等的棱锥是正棱锥两相邻侧面所成的角相等的棱锥是正

20、棱锥侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥A.4 B.3 C.2 D.0分析：有些同学错选的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到.如图所示，SABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成的角相等，两相邻侧面所成的角相等.在SB、SC分别取异于B、C的点B1、C1，连结AB1、AC1，则三棱锥SAB1C1均满足命题的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题为假命题;命题中，侧棱与底面所成的角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心，外心不一定是中心，所以底面不一定是正多边形，因此命题也是假

21、命题;在命题中，侧面与底面所成的角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题也是假命题.答案：D二、对正棱锥中各元素间的关系的深入学习例3命题“在正棱锥中，侧棱与底面所成的角大于侧面与底面所成的二面角的平面角”，是否正确？解：不正确.如图所示，在正四棱锥PABCD中，PBO是侧棱PB与底面所成的角，设为，PEO是侧面PBC与底面所成的二面角的平面角，设为，则sin=,sin=.又在RtPEB中，斜边PBPE,sinsin.而、都是锐角,.例4已知正n棱锥（n3,nN*)的高为a,底面边长为2a,试求侧面与底面所成的二面角,侧棱及斜高的长.分析：作出关键图形，把要求的

22、元素转化到平面图形中，解直角三角形.解：如图所示，设AB是正n棱锥底面一边，PO是高，PM是斜高，则有PMAB，AM=MB.OMAB，PMO为侧面与底面所成二面角的平面角.PO=a,AB=2a,AOM=.OM=AMcotAOM=acot.在RtPOM中，PO=OMtanPMO,tanPMO=tan.PMO=.故侧面与底面所成的二面角为.AO=acsc,PA=a.PM=acsc.侧棱与斜高的长分别为a和acsc.评述：在学习并掌握正棱锥的本质特征时，要熟练正棱锥中由直角三角形所引出的各种元素间的关系式.备课资料一、棱锥侧面积问题在学习中，要求学生掌握正棱锥的侧面积、全面积公式，并能运用这些公式进

23、行计算，对一般棱锥的侧面积、全面积作简单了解与计算.下面，试举几例.例1侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长是a时，求该三棱锥的全面积.分析：利用正三棱锥的性质及其各元素间的关系求之.解：正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形，又都是直角三角形,正三棱锥的侧面是等腰直角三角形.其斜高是底面边长的一半.S棱锥侧=3a=.又S底面=a2,S正棱锥全=+=a2.例2已知正六棱锥的高是h,侧面和底面所成的二面角是，求此棱锥的全面积.分析：依正棱锥的性质及其各元素间的关系求得.解：如图，设底面中心是O，BC的中点是G，连结PO、PG、OG，则由正棱锥的定义及其性质可得PO底面AD，OGBC、PGBC.PGO

24、为侧面与底面所成的二面角的平面角.PGO=.在RtPGO中，PG=,OG=hcot,在正OBC中，OG=BC,BC=OG=hcot.S正六棱锥侧=6BCPG=6hcot=2h2.S底面=6BC2=6（hcot)2=2h2cot2.S全=S侧+S底=2h2+2h2cot2=2h2+2h2=.例3棱锥的底面是等腰三角形，这个等腰三角形的底边长为12 cm,腰长为10 cm,棱锥的侧面与底面所成的二面角都为45,求这个棱锥的侧面积.已知：三棱锥SABC的底面是等腰三角形，AB=AC=10 cm,BC=12 cm,侧面SAB、SBC、SCA与底面ABC所成的二面角都是45.求三棱锥SABC的侧面积.解

25、：作点S在底面ABC上的射影O，如图所示.O是底面ABC的内心，作OEAB于E点，连结SE，则SEAB.SEO是侧面与底面所成的二面角的平面角,即SEO=45.ABC内切圆的半径OE=3,(其中l= (AB+BC+AC),S是ABC的面积）斜高SE=OE=3.S侧=SE（AB+BC+CA）=48.SSABC侧=48cm2.评述：（1）求棱锥侧面积关键是求出各侧面三角形的高.（2）本题还可以用面积射影定理求VSABC的侧面积，由于棱锥的侧面与底面所成的二面角都为45,SSABC侧=48.二、棱锥有关元素的计算问题教学中，要求学生在熟练掌握棱锥性质的基础上，能灵活地解决与棱锥有关的所成角问题、距离

26、问题，以及各种位置关系等与其他知识有关的综合问题.试举以下几例供参考.例4已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角大小是A. B.C. D.解析：如图所示，根据题意得AB=AC=BD=CD=，BC=AD=2，取BC的中点E，连结AE、DE.AEBC，DEBC.AED是所求二面角的平面角.AE=DE=，AD2=4.AE2+DE2=4.AED=.答案：C例5如图所示，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别是SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A.90B.60C.45D.30解析：取SB的中点G，连

27、结FG，FGSA.EFG是异面直线EF与SA所成的角.设棱长为a,连结AE，则AE=a,AF=,EF=a.又FG=EG=,EFG是等腰直角三角形.EFG=45.答案：C例6如图，三棱锥SABC，SA平面ABC，ABC是直角三角形，ACB=,ABC=,AC=1,SB=2.(1)求证：SCBC；(2)求直线SC和平面SAB所成的角；（3）求三棱锥SABC的表面积.（1）证明：SA平面ABC，在平面ABC内，BCAC，又由SC为ABC的斜线得SCBC（三垂线定理）.（2）解：SA平面ABC，SA平面SAB，平面SAB平面ABC，平面SAB平面ABC=AB.在平面ABC内，作CDAB于点D，CD平面S

28、AB.连结SD，DSC是SC与平面SAB所成的角.在RtACB中，ACB=,ABC=,AC=1,AB=2,BC=.又CDAB于点D，CD=.在RtSAB中，SB=2，AB=2，SA=2.在RtSAC中，SA=2，AC=1，SC=3.在RtSCD中，sinDSC=,DSC=arcsin.直线SC与平面SAB所成的角为arcsin.(3)解：三棱锥的表面积S=SSAC+SSAB+SSBC+SABC=+2+=3+2.评述：以上各例是与棱锥有关的计算证明的综合问题，要使学生有条不紊地处理它，需在平时的学习中重视对这种题目的训练，要不断积累方法、经验，开阔解题思路，提高解题能力.备课资料对正多面体的进一

29、步深入探究例1求正八面体的相邻两个面所成二面角的大小.解：设正八面体的棱长为a,取AB的中点M，连结PM、QM，则PMAB，QMAB.（如图所示）PMQ为二面角PABQ的平面角.又四边形PAQC为正方形,PQ=a.而PM=QM=a,cosPMQ=-.PMQ=-arccos.故正八面体相邻两个面所成二面角的大小为-arccos.例2求正十二面体的相邻两个面所成二面角的大小.解：如图，设正十二面体相邻两个面为ABCDE和ABFGH，AB为公共棱，作CMAB，M为垂足，连结FM，则FMAB.CMF是相邻两个侧面所成二面角的平面角.设棱长为a,则由ABF=108得FBM=72,FM=asin72=.取

30、CF的中点N，则MNFC.而FC为正五边形的对角线，FN=FC=asin54=(+1)a.在RtFNM中，sinFMN=,cosFMC=1-2sin2FMN=1-2=-=-.正十二面体相邻两个面所成二面角的大小为-arccos.例3求正二十面体的相邻两个面所成二面角的大小.解：如图，设正二十面体相邻两个面为ABC和ABF，AB为公共棱，取AB的中点M，连结CM、FM，则CMAB，FMAB.CMF为相邻两个面所成二面角的平面角.设棱长为a,则FM=a.取FC的中点N，则MNFC.又FC为正五边形的对角线长，FN=asin54=(+1)a.在RtMNF中，sinFMN=.cosFMC=1-2sin

31、2FMN=1-2(+1)2=1-(6+2)=-.正二十面体相邻两个面所成二面角的大小为-arccos.备课资料参考例题例1（2003年高考,文17）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明:EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离. 基本解法：（1）证明：取BD的中点M，连结MC、FM，F为BD1的中点,FMD1D且FM=D1D.又EC=CC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1.又CM面DBD1，EF面DBD1.BD1面DBD1，EFBD1.EF为BD1与CC1的公垂线.（2）解：连结ED1，有VEDBD1=VD1DBE.由（1）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的