线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件.ppt_第1页
线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件.ppt_第2页
线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件.ppt_第3页
线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件.ppt_第4页
线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件.ppt_第5页
已阅读5页，还剩9页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、,第六章 二次型,1 二次型及其矩阵表示,二次型的研究起源于解析几何中化二次曲面为标准形式的问题 解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数 称为二次型,令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是,对称阵,对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩,对称阵的 二次型,二次型 的矩阵,解,例,定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P 1AP = B ， 则称

2、矩阵A 和 B 相似（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同（P.129定义9） 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵 R(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变,2 二次型的标准形,对于二次型，寻找可逆的线性变换 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形.,简记

3、为 x = C y ， 于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y,若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即,问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）,一、正交变换法,定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.130定理2.8） 定理2.1：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + + ln yn2 其中 l1 , l2 , , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,二、配方法,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项 集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成 平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,配方法的步

人人文库> 全部分类> 应用文书 > 技术指导

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论