1.1数的概念的扩展

1、1.1 数系的扩充及复数的引入 西安市第八十九中学 郭亚丽,问题1：我们以前学过哪些数集，分别用哪些字母表示？他们之间有什么关系？ 问题2：为什么要对数集进行扩充？如何扩充呢？,创设情境,R,Q,Z,N,为了计数方便我们引入了自然数 N,为了度量和平均分享我们引入了分数,为了理解科学和生活中特有的含义我们引入了负数,为了让使算数与几何统一起来我们引入了无理数,问题探究：在扩展过程中哪些内容保持不变？,可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。而且每个数都有单位：“1”.,问题导入,将5分成两部分，使两者乘积为6；,将6分成两部

2、分，使两者乘积为8；,将8分成两部分，使两者乘积为10；,将10分成两部分，使两者乘积为40。,数学游戏：看看谁更快！,笼罩着怀疑 - - -,虚数的诞生,笛卡尔,卡尔丹诺,牛顿,莱布尼茨,欧拉,至此 虚数 终于在数学界有了合法的“身份”,高斯,在实数域中，连接两个真理的最短路径是通过复数域。,问题探究：,下面我们引入新数，规定i2 1； i 为虚数单位。,类比数系扩充的特点，思考引入的新数需要满足哪些条件？,i可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,问题讨论：现在定义了i2 1，那么请同学们思考一下什么数的是-15平方根呢？

3、,那么一元二次方程x2-10 x+40=0的根可以记作什么？,我们知道新数i可以与实数进行四则运算，请大家思考一下新数i与实数可能产生哪些代数式，并写出来；,问题讨论;,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数。,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 。,问题讨论：你能写出一个形式，把刚才的所有数都包含在其中吗？,问题讨论：集合C与R比较发生了哪些变化？是否包含了以前学习的所有实数？产生了哪些新数？,定义复数的代数形式为：,其中， 称为虚数单位。,学习概念,问题讨论？,复数z=a+bi 分别满足何种条件时表示实数、虚数、纯虚数及实数0？,复数a+bi,问题探究：请大家思考复数集、实数集

4、、虚数集、纯虚数集之间存在的关联？,?,2、对于复数z1=a+bi与z2=c+di (a,b,c,d属于实数)两个复数相等应满足什么条件呢？,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：,1、复数的代数式z=a+bi 在形式上和我们以前学习的哪个知识有紧密联系？,小试牛刀,例1：说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5 +8,0,例2: 实数m取什么值时，复数 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是 纯虚数,例3: 已知 ， 其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,练习二: 当m为何实数时，复数 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,(3)m=-2,(1)m=,(2)m,练习一:翻开课本75页，完成练习1、2。,课堂巩固：,课堂小结,1. 复数发展史及虚数单位i 的引入。,3. 数集扩充到复数集（图展示）,N,R,Q,Z,C,复数的实部 、虚部,复数的代数形式:,虚数、纯虚数,复数相等,2.复数有关概念：,作业布置： 习题4-1 A组1、2，B组,欣赏数学公式的精华欧拉公式,问题：复数的诞生给我们怎样的启示？,每一个知识的发展过程都有许多的艰辛