高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的基本性质课件.ppt

1、2.2函数的基本性质,高考数学,一、函数的单调性 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),则f(x)在区间D上是减函数. 2.单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.,知识清单,注意:当函数有多个单调递增(减)区间时,区间之间最好用“,”隔开,而不用“”. 3.判断单调性的方法 (1)利用定义证明. (2)利用函数的性质证明. 若f(x)、g(x)为增函数,则在公共定义域内: (i)f(x)+g(x)为增函数

2、; (ii)为减函数(f(x)0); (iii)为增函数(f(x)0); (iv)f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); (v)-f(x)为减函数.,(3)利用复合函数关系. 法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数. (4)图象法:从左往右看,图象上升的函数单调递增,反之单调递减. (5)导数法. 若f(x)在某个区间内可导,则当f (x)0时, f(x)为增函数;当f (x)0时, f(x)为减函数.,二、函数的最值,三、函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于

3、函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性相反.(填“相同”或“相反”) (2)在公共定义域内, (i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;,(ii)两个偶函数的和、积是偶函数; (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. (3)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(

4、x)的和的形式,即f(x)=g(x)+h(x),其中,g(x)=,h(x) =. 四、函数的周期性 1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数 的周期.如果在周期函数f(x)的所有的周期中存在一个最小的正数,则这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,2.由周期函数的定义得: (1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|; (2)若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x)(a0)且f(x)为奇函数,则f(x)为周期函数,T=4|a|;

5、 (3)若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|; (4)若函数f(x)满足f(x+a)=(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|. 3.(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期; (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.,函数单调性的判断 求函数的单调性或单调区间的方法: (1)利用已知函数的单调性. (2)先求定义域,再利用单调性的定义. (3)如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图

6、象易作出,则可由图象判断函数f(x)的单调性. (4)复合函数y=fg(x)的单调性根据“同增异减”判断. (5)利用导数判断单调性. 例1给定函数y=,y=lo(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是.,方法技巧,解析y=在(0,1)上递增;01,y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是.,答案,函数单调性的应用 函数的单调性有如下几个方面的基本应用: (1)利用函数的单调性解不等式; (2)在已知函数单调性的条件下,求参数的取值范围. 例2已知函数f(x)=满足对任意x1x2,都有 0成立,则a的取值范围是.,解

7、析由对任意x1x2都有 0成立,知f(x)是减函数,于是 所以0a.,答案,函数奇偶性的应用 利用奇函数的图象关于原点对称,函数在原点两侧的单调性相同,偶函数的图象关于y轴对称,函数在y轴两侧的单调性相反,以及奇偶函数解析式的特点,解决与之有关的问题. 例3(2016江苏赣榆期中)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)=.,解析f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1). 又g(x)是偶函数,g(-1)=g(1). f(-1)+g(1)=2,g(1)-f(1)=2. 又f(1)+g(-1)=4, f(1)+g(1)=4. 由,得g

8、(1)=3.,答案3,函数周期性的应用 求函数周期常用递推法和换元法,求形如y=Asin(x+)(A0,0)的函数的周期,用公式T=. 递推法:若f(x+2)=-f(x), 则f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),周期T=4. 换元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,则x=t-2, f(t)=f(t-4),周期T=4. 例4(1)(2016江苏泰州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于.,(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2x3时,f(x) =x,则f(105.5)=.,解析(1)f(x+6)=f(x),T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)+f(2 016) =1=336. 又f(2 017)=f(1)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337.,(2)由已知