高等数学随堂讲义高等数学第七版统计学

1、（一）基本概念 （二）统计量和抽样分布 （三）统计估计 （四）假设检验,第三部分 统计,（一） 基本概念,1、统计的研究对象 2、总体和样本 3、简单随机样本,1、统计的研究对象,（1）必须是“大量的”现象 （2）不是研究现象本身，而是现象所表征的数量特征和数量关系。 （3）统计既非纯粹数学，也非具体的行为科学，有广泛的应用领域。,总体和个体 总体即研究对象全体或者说是服从一定分布的统计指标；每个对象，或对象的数量特征称之为个体。,2、总体和样本,例：某厂生产大批某种型号的元件，从某天生产的元件中随机抽取若干个进行寿命试验。总体就是该厂某种型号的全部元件，由于关心的是元件的寿命，因此也可以说，

2、总体是具有某种分布的元件寿命，而每个元件，是个体。,样本 称总体中按一定规则抽取的一部分个体为样品，样品的统计指标称为样本。在总体中抽取样本的过程称之为抽样；抽取规则则称之为抽样方案；样本所包含的个体个数称之为样本容量或样本大小。,服从同一分布类型的不同研究对象可以看成来自同一总体。总体的这一定义给理论处理带来极大的方便，便于应用概率论作为理论分析的工具。 统计总体的特点是，标志总体的分布总是未知的，或者至少部分是未知的（例如含有若干未知参数）,简单随机样本 即独立且同分布的样本，这种样本既有代表性又有相互独立性，便于理论分析，本书讨论的样本，除少数另有说明外，都是这一类样本。,3、简单随机样

3、本,样本的两重性 对于给定的抽样方案，作为将要被抽到的那些个体的指标，样本是一组随机变量，同大写字母X1,Xn记之；一旦给定的抽样方案实施后，样本就是一组数据，用小写英文字母 记之。,（二）统计量和抽样分布,1、统计量 2、抽样分布,1、统计量,样本常常表现为一大堆数字，很难直接用来解决我们所要研究的具体问题。人们常常把数据加工成若干个数量指标，以概括这批数据所提供的相关问题的信息。数据加工后的数量指标就是统计量。,2、抽样分布,有限总体的抽样分布,三个重要分布,（1）卡方分布 （2）T分布 （3）F分布,（1）卡方分布,（2）T分布,（3）F分布,正态总体下的抽样分布,（三） 统计估计,1、

4、点估计问题 2、估计方法 3、点估计的优良性 4、置信区间 5、正态总体下的区间估计,1、点估计问题 统计模型,2、估计方法,矩估计 最大似然估计,矩估计的思想,最大似然估计,只适用于总体分布类型完全已知的统计模型，或者说参数类统计模型，它是由英国统计学家R.A.Fisher提出的。,3、点估计的优良性,4、 置信区间,5、正态总体下的置信区间估计,（四） 假设检验,1、基本概念和原理 2、显著水平检验法 3、正态总体检验 4、拟合优度检验,例，某工厂生产的产品，长期以来不合格品率不超过0.01，某天开工后，为检验生产过程是否正常，随机地抽取了100件产品，发现其中有3件不合格，能否认为这天的

5、生产过程是正常的？,1、基本概念和原理,统计检验问题的特点 检验与估计是既有密切联系，又有重要区别的一种推断方法，统计检验在收集数据之前，就已有一个有关问题的假设，要通过收集到的样本回答这个假设是否成立。在前例这个假设就是：生产过程是正常的，或者说不合格品率不超过0.01。但估计问题，在收集数据之前并不对参数真值进行假设。这是两者的重要差别；此外，检验问题的回答是定性的，而估计问题的结果是定量的。,检验问题的提法：观察到的数据与假设的差异只是由随机性引起的还是反映了总体的真实差异，从而关于总体的假设不再成立？ 如在前例，从一次抽样的结果算出不合格率的估计0.03，明显大于正常生产的参考值0.01，但这仅仅是一次试验的结果，能否保证下一次抽样的结果也是如此呢？,否定论证与实际推断原理 否定论证是假设检验的重要推断方法，其要旨是：先假定原假设H0成立。如果基于样本，从观察数据及此假定下将导致一个矛盾的结果，则必须否定这个假设；反之，如未发现有矛盾的结果，就不能否定原假设。 从试验数据判断是否导致一个矛盾结果，一个很重要的依据就是小概率事件的实际推断原理：即一个小概率