3.1 多项式的因式分解(1)正版.ppt

1、多项式的因式分解,3.1,1. 21等于3乘哪个整数？,21=37,2. x2-1等于x+1乘哪个多项式？,因为(x+1)(x-1)=x2-1, 所以 x2-1=(x+1)(x-1).,对于整数21与3，有整数7使得21=37，我们把3叫做21的一个因数,类似地，对于多项式x2-1与x+1，有整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.,同理，7也是21的一个因数,同理，x-1也是x2-1的一个因式.,议一议：,你能尝试把 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流一下吧！,=a(a+1)(a-1),一般地，对于两个多项式f与g，如果有

2、多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.,此时，h也是f的一个因式.,把x2-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解.,一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.,x2-1=(x+1)(x-1),想一想:分解因式与整式乘法有什么关系?,二者是互逆的过程,为什么要把一个多项式因式分解呢？,每一个大于1的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式,例如,12 = 223， 30 = 235 . ,有了式和式，就容易求出12和30的最大公因数为,23 =6 ，,进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得,12 = 223， 30

3、 = 235 . ,同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁,例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.,1. 求4，6，14 的最大公因数.,答：因为4=22 6=23 14=27,所以最大公因数是2.,举 例,例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？,（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2； （2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .,解 是. 因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b 的积的形式.,

4、（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2,（2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .,解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个 多项式乘积的形式.,2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解， 哪些不是，为什么？,（1） (x+1)(x+2)= x2+3x+2 ；,（2） 2x2y + 4xy2= 2xy(x+2y) ；,答：是因式分解.,（3） x2-2 =(x+1)( x-1)-1 ；,（4） 4a2-4a+1=(2a-1)2 .,答：是因式分解.,解 不是.,解 不是.,1,因为x2 +3x+2不是几个多项式乘积的形式.,因为(x+1)(

5、x-1)-1不是几个多项式乘积的形式.,例2 检验下列因式分解是否正确. （1） x2 + xy = x(x+y) ； （2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ； （3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .,分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.,解 因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6， 所以因式分解a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)正确.,（1） x2 + xy = x(x+y),解 因为x( x + y ) = x2 + xy ， 所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.,（2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3),（3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .,解 因为(2m-n)(2m+n)= 4m2-n22m2-n2， 所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.,3. 检验下列因式分解是否正确.,（1） -2a2 + 4a = -2a(a+2) ；,（2） x3+ x2+ x = x(x2+ x) ；,解 因为-2a(a+2)= -4a2-4a-2a2+4a ， 所以因式分解-2a2+4a= -2a(a+2)不正确.,（3） m2+ 3m+ 2 = (m+1)(m+2) .,解 因为x(x2+x)=x3