第3章_离散系统的时域分析.ppt

1、第一章 信号与系统的基本概念 第二章 连续系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 第五章 连续系统的s域分析 第六章 离散系统的z域分析 第七章 系统函数 第八章 系统的状态变量分析,第三章 离散系统的时域分析,课程体系,信号与系统课程结构,系统函数 第七章,Z变换 第六章,拉普拉斯 变换 第五章,傅里叶变换 第四章,离散时域 第三章,连续时域 第二章,绪论 第一章,状态变量 第八章,基本概念引导 核心内容,拓宽加深部分,第三章 离散系统的时域分析,课程体系,信号与系统课程结构,第三章 主要内容,3.1.LTI离散系统的响应: 一、差分与差分方程 二、差

2、分方程的经典解 三、零输入响应、零状态响应 3.2.单位序列和单位序列响应: 一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应,3.3.卷积和: 一、卷积和 二、卷积和的图解 三、卷积和的性质,第三章 离散系统的时域分析,第三章 主要内容,连续系统微分方程的求解,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程的求解,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,第三章 离散系统的时域分析,一 差分与差分方程,移位序列：，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。,差分：相邻两个序列值的变化率，有两种形式,3.1 LTI

3、离散系统的响应,微分：连续信号的变化率：,一阶前向差分：,一阶后向差分：,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,一 差分与差分方程,二阶差分,差分运算具有线性性质,n阶差分?,第三章 离散系统的时域分析,差分方程：包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),3.1 LTI离散系统的响应,一 差分与差分方程,可以缩写为：,二阶差分方程：,y(k) + a1 y(k-1) +a0 y(k-2) = b2 f(k)+ b1 f(k-1)+ b0 f(k-2),3.1 LTI离散系统的响应

4、,逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和方法求解，重要!,求解过程比较麻烦， 不宜采用。,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种,全响应齐次通解 特解,自由响应 强迫响应,第三章 离散系统的时域分析,4、变换域法（Z变换法）,二 差分方程的经典解,第三章 离散系统的时域分析,差分方程是具有递推关系的代数方程，已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。 例3.1-1：若描述某系统的差分方程为： y(k) + 3y(k 1)

5、 + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2, 激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(0)=0 y(1)=2 y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 思路清楚，便于计算机求解，但不易得到解析形式的(闭合)解。,3.1 LTI离散系统的响应,一 差分与差分方程,例3.1-2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)= 1; 激励f(k)

6、=2k，k0。求全解。,解： 求齐次解 特征方程为 2 + 4+ 4=0 特征根 1=2= 2， 齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 求特解 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k 得 P=1/4 得特解： yp(k)=2k2 , k0 全解 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 由 y(0)=0, y(1)= 1 解得 C1=1 , C2= 1/4 全解 y(k)= (k -1/4) ( 2)k + 2k2 , k0,第三章 离散系统的时域分析,3.1 L

7、TI离散系统的响应,二 差分方程的经典解,齐次解,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,二 差分方程的经典解,特解,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,二 差分方程的经典解,第三章 离散系统的时域分析,初始状态： y(1), y(2) , ，y(n) 设激励在k=0时接入系统 对于零状态响应： yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0 对于零输入响应： yzi(1)= y(1) , yzi(2)=y(2) yzi(n)=y(n) 初始值：可用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1),y

8、(k) = yzi(k) + yzs(k),3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,y(k) + a1 y(k-1) +a0 y(k-2) = b2 f(k)+ b1 f(k-1)+ b0 f(k-2),第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,例：已知系统的差分方程为 求系统的零输入响应。,解：零输入响应满足：,其初始状态为：,求初始条件值,由式(1)，,将 代入，得,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,其特征根：,齐次解的形式为：,特征方程：,求齐次解的系数：将初始值代入齐次解,

9、解得：,所以零输入响应为：,实际上，可以直接用 确定待定常数!,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,若其特征根均为单根，则零状态响应为：,初始状态：,初始值：,零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,例：已知系统的差分方程为 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：(1)零输入响应 满足齐次方程：,其特征方程：,其特征根：,零输入响应形式为：,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应

10、,三 零输入响应、零状态响应,计算零输入响应的初始值，令 k=0、1，并将 代入差分方程(1),将初始值代入方程(2)，求解零输入响应齐次解中的常数：,解得：C1=1，D1=-1,所以零输入响应为：,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,(2)零状态响应满足：,先求初始值 和,令 k=0、1，由(3)式得,令特解为：,代入(3)式,上式左右两端应该相等，求得P1=1，P0=2，所以特解为：,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,所以零状态响应形式为：,令 k=0、1，用初始值求解零状态响应中齐次解的

11、常数：,解得：C2=-2，D2=0,所以，零状态响应为：,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,三 零输入响应、零状态响应,(3)全响应为：,零输入响应,零状态响应,自由响应,强迫响应,时移性,比例性,抽样性,注意：,单位序列： (单位样值序列),一 单位序列和单位阶跃序列,3.2 单位序列和单位序列响应,第三章 离散系统的时域分析,3.2 单位序列和单位序列响应,第三章 离散系统的时域分析,例：利用单位样值序列表示任意序列,一 单位序列和单位阶跃序列,第三章 离散系统的时域分析,3.2 单位序列和单位序列响应,一 单位序列和单位阶跃序列,3.2 单位序列和单位序列响应,单

12、位冲激响应：,单位序列响应：,第三章 离散系统的时域分析,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k),二 单位序列响应,解法一：迭代法求解。 解法二：齐次法求解。 单位序列仅在k=0时为1，因而在k0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同，从而把求单位序列响应问题转化为求差分方程的齐次解问题。 K0 处的初始值 h(k) ,可按零状态条件由差分方程迭代求得。,例3.2-1：求所示离散系统的单位序列响应.,解:(1)列写差分方程,且初始状态,则单位序列响应满足方程：,3.2 单位序列和单位

13、序列响应,(2)由初始状态， 求初始值,令 k=0,1,并考虑,第三章 离散系统的时域分析,二 单位序列响应,第三章 离散系统的时域分析,(3)求齐次解,(4)求系数 将初始值代入得：,(5)求单位序列响应,齐次解形式为：,3.2 单位序列和单位序列响应,二 单位序列响应,(1)列写差分方程:,设左端加法器的输出为x(k),3.2 单位序列和单位序列响应,由右端加法器列写方程,例3.2-2：求所示离散系统的单位序列响应,为消去中间变量x(k), 先求出y(k)的移位序列：,(2),第三章 离散系统的时域分析,二 单位序列响应,按(1)式的系数配置 (2)(3)(4),并求和：,则h(k)满足方

14、程,初始状态,(2)求h(k):,设只有(k)时,单位序列响应为h1(k)： 据LTI线性和时不变性，有：,由上例：,所以,第三章 离散系统的时域分析,3.2 单位序列和单位序列响应,二 单位序列响应,LTI:线性、时不变性、积分性,例3.2-3 (p99),第三章 离散系统的时域分析,3.2 单位序列和单位序列响应,三 单位阶跃响应,第三章 离散系统的时域分析,一 卷积和的定义,卷积和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为： f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,离散系统零状态响应：,连续

15、系统零状态响应：,3.3 卷积和,定义,第三章 离散系统的时域分析,任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齐次性：,f (i) h(k-i),由叠加性：,f (k),yzs(k),卷积和,3.3 卷积和,设,任意两个序列 其卷积和为：,若 为因果序列：,若 为因果序列：,若 均为因果序列：,则,第三章 离散系统的时域分析,f (k),yzs(k),f (t),yzs(t),3.3 卷积和,一 卷积和的定义,第三章 离散系统的时域分析,例3.3-1：,求：,解：,(2),上式中，显然 k0,所以,(

16、1),3.3 卷积和,一 卷积和的定义,第三章 离散系统的时域分析,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。,3.3 卷积和,二 卷积和的图解,解法一：图解法,3.3 卷积和,例3.3-2：两个序列分别如下，求其卷积和.,第三章 离散系统的时域分析,二 卷积和的图解,第三章 离散系统的时域分析,3.3 卷积和,二 卷积和的图解,解法二：列表法,第三章 离散系统的时域分析,3.3 卷积和,三

17、 卷积和的列表法,第三章 离散系统的时域分析,3.3 卷积和,三 卷积和的列表法,交换律：,结合律：,分配律：,并联和级联,第三章 离散系统的时域分析,一 卷积和的代数运算,3.3 卷积和,第三章 离散系统的时域分析,二 任意序列与单位序列的卷积和,序列与单位序列的卷积和：,推广：,若,则,3.3 卷积和,第三章 离散系统的时域分析,例3.3-3 复合系统有两个子系统级联组成，子系统单位序列响应为h1 (k) = a k(k), h2(k) = b k(k) ， 求复合系统的单位序列响应h(k),解：,当i k时，(k - i) = 0,当a=1，b=1时：(k)*(k) = (k+1)(k),3.3 卷积和,二 任意序列与单位序列的卷积和,第三章 离散系统的时域分析,例：已知某离散系统的单位序列响应 试求当激励 时,系统的零状态响应。,解：由于k 0时，,所以，