高考数学 第一节 平面向量的概念及线性运算教材

1、第一节 平面向量的概念及线性运算考 点 串 串 讲1向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量物理学中又叫做矢量如力、速度、加速度、位移就是向量向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)，如、等(2)向量的长度向量的大小，也就是向量的长度(或“称模”)，记作|.a的模为|a|.说明：向量是既有大小又有方向的量，不同于数量，而向量的模是正数或0，可以进行大小比较(3)零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.显然|0|

2、0，但零向量的方向是不确定的(4)单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量平行向量也叫做共线向量若向量a、b平行，记作ab.规定：0与任一向量平行(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可向量a，b相等记作ab.零向量都相等任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关2对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小(2)向量共线与

3、表示它们的有向线段共线不同向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上3向量的加法(1)向量的加法定义已知向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab.如图所示求两个向量和的运算叫做向量的加法对于零向量与任意向量a有0aa0a.说明两个向量的和仍然是向量可借助物理学中力的合成、位移等知识来理解向量的加法(2

4、)向量加法的三角形法则根据向量的定义求向量的和的方法，叫向量加法的三角形法则说明“首尾相连”具体是指：后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段表示它们的和向量，也可适用于多个向量的加法运算当a与b不共线时，ab的方向与a，b的方向都不相同，且有|ab|a|b|.当a与b共线时，即a与b同向、反向或其中至少一个为零向量时：1当a，b有一个为零向量时，则有ab的方向和大小与另一个向量相同2当a，b为非零向量且方向相反时，若|a|b|，则ab的方向与b的方向相同，且|ab|b|a|，如图所示3当a，b为非零向量且方向相同时，ab的方向与a(或b)的方向

5、相同且|ab|a|b|，如图所示 (3)向量加法的平行四边形法则以同一点A为起点的两个已知向量a，b所对应的，为邻边作ABCD，则以A为起点的对角线就是a，b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图所示说明由向量的加法定义，对于两向量共线可用三角形法则，但对于平行四边形法则就不适用对于一些实际问题，平行四边形法则较三角形法则更具优越性(4)向量加法的运算律向量加法满足交换律、结合律：交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)4向量的减法(1)相反向量与a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a，零向量的相反向量仍是零向量说明(a)a.a(a)(a)a0.

6、若a，b互为相反向量，则ab0，ab，ba.(2)向量的减法a与b的相反向量的和，叫做a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法说明向量减法的实质是向量加法的逆运算(3)向量减法的几何作法在平面上任取一点O，作a，b，则ab，如图所示ab表示从b的终点出发指向a的终点的向量说明以上作法称为三角形法则，作向量减法运算可归纳为：“平移共起点，连结两终点，方向指被减”平行四边形法则也可作向量的减法，即以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量ba，ab，如图所示，这一结论在向量的运用中非常广泛当a，b为不共线向量时，有|ab|a|b|；当a，b为同向共线向量时，有|ab|

7、a|b|；当a，b为异向共线向量时，有|ab|a|b|.5实数与向量积的概念实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.说明实数与向量的积定义的理解：a可以认为是把向量a的长度扩大(当|1时)，也可以缩小(当|1时)，同时，不改变a的方向(当0时)，也可以变为原来的相反方向(当0时)特殊情况：当0时，a0，当0时，若a0也有a0.实数与向量可以求积，但不可以进行加、减运算6实数与向量的积满足的运算律设，为实数，则有：(1)()a()a(结合律)(2)()aaa(第一分配律)(3)(ab)a

8、b(第二分配律)说明实数与向量的积也叫数乘向量区分数乘向量与数乘数的意义及运算，前者结果是向量，后者结果仍为实数，前者有两种分配律，而后者只有一个运算律主要用于对向量式的化简整理中7向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数使ba.说明要证明a，b共线，只需证明存在实数，使得ba即可a，b皆为零向量，则R，即存在并不唯一且为任意实数向量的共线定理可以解决几何中“共点”“共线”“平行”等问题，这也是向量数形结合的具体体现8平面向量的基本定理如果e1，e2是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任意向量a有且只有一对实数1，2使得a1e12e2.我们称不共线的向量e1，e

9、2为表示这个平面内所有向量的一组基底说明基底不唯一，关键不共线，基向量必须是非零向量对于e1，e2，不共线的向量作为基底选定后，1，2也随之唯一确定若e1和e2都是基向量，且ae1be2ce1de2，则有.平面向量的基本定理实质上是将平面内的向量进行分解，继而可以通过向量运算来研究向量间的关系，对于平面几何的证明，求解是重要工具.典 例 对 对 碰题型一 向量的概念例1判断下列各命题是否正确(1)若|a|b|，则ab；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(3)若ab，bc，则ac；(4)ab的充要条件是；(5)|a|b|是ab的必要不充分条件解析(1

10、)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|b|不能推出ab.(2)正确，|，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同，因此.(3)正确ab，a，b的长度相等且方向相同又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.(4)不正确当ab，且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故不是ab的充要条件，而是必要不充分条件(5)正确|a|b|/ ab，但ab|a|b|，|a|b|是ab的必要不充分条件.变式迁移1下列命题正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共

11、线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就不能构成四边形，所以B不正确；向量平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，可从其逆否命题入手考虑，若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，则有a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，则有a与b共线，其逆否命题成立，所以原命题成立

12、，应选C.题型二 向量的运算例2如图，以向量a，b为边作OADB，用a，b表示，.分析利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，将，用a，b来表示解析ab，ab.ab.又ab，abababab.点评本例中应用了向量的加减法运算，注意了M、N将AB和OP所分成的比例，以达到用a，b来表示的目的.变式迁移2如图所示，E，F是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，已知a，b，c，d，求向量.解析解法一：如图所示，连结AF，ab，(ab)，又bc，(bc)，a(bc)，a(bc)(ab)(ac)解法二：da，(da)，(da)d(ad)，(ad)(ab)(bd)，abcd0，注：(ac)(bd

13、)(ac).题型三 共线向量例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线分析要证明A、B、D三点共线，只需证明存在实数，使即可而kab与akb共线，则一定存在实数，使kab(akb)解析(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点，A、B、D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)即kabakb(k)a(k1)ba、b是不共线的两个非零向量，kk10.k1.变式迁移3(1)设两个非零向量e1、e2不共线，如果2e13e

14、2，6e123e2，4e18e2，求证：A，B，D三点共线；(2)设e1、e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解析(1)证明：6e123e2，4e18e2，10e115e2.又2e13e2，5，即，又公共点为B，A，B，D三点共线(2)e13e22e1e24e2e1，2e1ke2，又A，B，D共线，设，则即k8.题型四 向量线性运算的几何意义例4O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B垂心C内心 D重心解析由题意得，()，令，则AD与BC互相平分，又，即P点在

15、直线AD上，而直线AD是BC边上的中线所在的直线，所以P点的轨迹必经过ABC的重心，故选D.答案D点评本题属于中档题，主要考查向量加法和向量数乘的几何意义解决此类问题切入点很重要，要熟悉向量运算的几何意义，如本题中设，则可知四边形BACD是平行四边形，而意味着A、P、D三点共线，又直线AD是BC的中线所在的直线，这样问题就迎刃而解了.变式迁移4O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心答案B解析如图所示，向量即为图中的向量，且在CAB的平分线上，()，0，)表示P点在CAB的平分线上移动，点P的轨迹一

16、定通过ABC的内心，故选B.【教师备课资源】题型五 用向量方法证明平面几何问题例5如图，在ABC中，在AC上取点N，使得ANAC，在AB上取点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取一点Q，使得MQCM时，试确定的值分析分析1：为求值，可应用图中的三点共线和向量的加减法运算，将、往上转化分析2：考虑到ANAC，AMAB，从而MNPQ，可用平面几何的知识求解解析解法一：()()，又，且又，.解法二：如图，ANAC，AMAB，连结MN，则MNPQ.又APQA，则A为PQ中点又，且，MQCQ，MQCM.即.点评本例解法一利用了向量的加减法运算，结合共线向量定理，将未

17、知向量，转化到上，使问题得以解决；解法二是利用了平面几何的知识，简单明了两种方法都有独到之处，可相互渗透.变式迁移5如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD，求证M、N、C三点共线解析设e1，e2，则e1e2，e1e2，e1，e2，e1e2，e1e1e2e1e2(e1e2)故，故M、N、C三点共线.方 法 路 路 通1对于向量的概念应注意以下几条(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量(3)向量与数量不同，数量可以比较大小

18、，向量则不然，但向量的模是非负实数，故可以比较大小(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的2平行四边形的两条对角线向量，分别是相邻两边向量的和向量与差向量3重要结论：(1)围成一周顺次始终首尾相接的向量的和为0.(2)a0a，(a)a，a(a)0，aba(b)(3)若ABC的重心为M，则0.(4)若点P在直线AB上，且，则1.特别地，当时，点P为线段AB的中点4关于两向量及它们的和与差，其长度之间有以下重要性质：|a|b|ab|a|b|a|b|ab|a|b|注意等号成立的条件：|a|b|ab|等号成立的条件是a、b中有一个为零向量或a、b共线且反向|ab|a|b|等号成立的条件是a，b中有一个为零向量或a、b共线且同向50与0具有不同含义，0是既有大小，又有方向的向量，它的方向是任意的，与任何向量平行，而0只是一个实数6对于共线向量定理ab中，若a与b同向，则0，若a与b反向，则0.正 误 题 题 辨例下列命题正确的是()A向量a与b共线，向