2019届广东省肇庆市高三第二次(1月)统一检测数学(文)试题(解析版)

1、2019届广东省肇庆市高三第二次（1月）统一检测数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）A B C D【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合的范围，然后求的交集，由此得出正确结论.【详解】对于集合，由，解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2若复数满足 ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】用复数除法运算化简复数为的形式，然后利用复数模的公式求得的模.【详解】依题意，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的概念及运算，属于基础题.3下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A B C D【答

2、案】B【解析】先利用函数为奇函数对选项进行排除，然后利用定义域上为增函数对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】四个选项中，不符合奇函数的是，排除D选项.A,B,C三个选项中，C选项在定义域上有增有减，A选项定义域为，单调区间是和不能写成并集，所以A选项错误.对于B选项，是奇函数，并且在定义域上为增函数，符合题意.综上所述，本题选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，属于基础题.4若x,y满足约束条件的取值范围是A0,6 B0,4 C6, D4, 【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1）

3、，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+）故选：D5已知圆锥的底面半径是，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A B C D【答案】B【解析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为，由于侧面展开图是半圆，故，故侧面积为，底面积为，所以表面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题.6已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）A BC D【答案】A【解析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论.【详解】画出图像如下图所示，故 ，故选

4、A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.7太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】先求得的周期，得出大圆的半径，然后利用几何概型求得“点投放到“鱼眼”部分的概率

5、”.【详解】函数的最小正周期为，故大圆的直径为，半径为，故“点投放到“鱼眼”部分的概率”为.【点睛】本小题主要考查正弦型函数的周期性，考查利用几何概型面积计算公式计算概率，属于基础题.8已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为（ ）A BC D【答案】B【解析】先排除渐近线不含的选项，然后将点的坐标代入剩余选项中，符合的即是正确选项.【详解】由于C选项的中双曲线的渐近线方程为，不符合题意，排除C选项.将点代入A,B,D三个选项，只有B选项符合，故本题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查点在曲线上的概念，属于基础题.9由 的图象向左平移个单位，再把所得图象

6、上所有点的横坐标伸长到原来的倍后， 所得图象对应的函数解析式为（ ）A BC D【答案】A【解析】先求得函数“向左平移个单位”得到的表达式，然后再“图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍”得到最终函数的解析式，由此得出正确选项.【详解】将函数“向左平移个单位”得到 ，再“图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍”得到.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，包括平移变换和伸缩变换，属于基础题.在三角函数图像变换的过程中，要注意以下原则：横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化.变换过程中还要注意是从哪个变换成哪个.10在长方体中，是的中点，则三

7、棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】设直角三角形的外心即斜边中点为，连接，通过证明三角形为直角三角形，由此证得到的距离相等，即球心，从而求得球的半径并计算出球的表面积.【详解】设直角三角形的外心即斜边中点为，连接，.由于,，故，所以，所以，即是球的球心，且半径为，所以球的表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球的表面积有关问题，属于基础题.有关球的内接、外切的问题，解题关键在于找到球的球心并计算出球的半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，如等边三角形的外心，直角三角形的外心.本题中有两个有公共斜边的直角三角形，外心即是斜边的中点处，这个点也即是球心.11

8、已知是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】对函数求导并因式分解，根据导函数零点分布情况，求得实数的取值范围.【详解】依题意，它的两个零点为，要是函数的极小值点，则必须，此时函数在上递减，在上递增，在处取得极小值.故本题选D.【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查利用导数研究函数的极小值，考查运算求解能力，属于中档题.12已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设出点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入，得到另一个等式，对比这两个等式求得的值，由此求得离心率的值.【详解】依

9、题意可知.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆上任意一点坐标的表示，考查向量数量积的坐标运算以及椭圆离心率的求解.属于中档题.椭圆有三个参数，其中是长半轴，如果焦点在轴上，则左右顶点的坐标就是.焦点所在坐标轴不一样时，顶点的坐标是不同的.二、填空题13某频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在的数据个数之和是_分组频数【答案】【解析】根据题目所给样本在内的频率，计算得内数据个数，结合表格数据计算得内的数据个数之和.【详解】由于样本容量为，故在内的频数为，故在内的数据

10、个数之和为.【点睛】本小题主要考查样本、频数与频率之间的关系，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.14已知，则_【答案】【解析】利用两角和的正切公式展开已知条件，解方程求得的值.【详解】依题意，解得.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查特殊角的三角函数值，考查方程的思想，属于基础题.15已知，则的值为_【答案】【解析】根据对数运算公式对题目所给已知条件化简，化简后可求得的值.【详解】依题意得，而，即.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查指数的运算公式，属于基础题.16在平面凸四边形中，（为常数），若满足上述条件的平面凸四边形有且只有个，则的取值范围是_【答案】【解析】画出图像，

11、计算出点到直线的距离，和的长度，当的取值范围就是.【详解】画出图像如下图所示，到直线的距离为，关于的对称点是.由于，根据余弦定理得，设，则，故 ，所以.当在线段（除两端点）上运动时，符合“平面凸四边形有且只有个”这个要求.故的取值范围是，即.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查余弦定理的两种表示形式，考查两角差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查解直角三角形以及凸四边形的概念，属于中档题.余弦定理有两种表示形式，一个是整式，一个是分式，即，在解题过程中要熟练运用对应的形式.三、解答题17在数列中，已知.（1）求证：数列是等差数列；(2)设数列的前和为，,求数列的前和【答案】

12、（1）见证明；（2） 【解析】（1）对已知条件因式分解，化简后得到，由此证得为等差数列.（2）由（1）求得的前项和，利用裂项相消求法和求得的值.【详解】（1）由得因为，所以，即又因为，所以数列是首项为,公差为的等差数列。（2）由（1）可得， 【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查裂项相消求法和的运用，还考查了运算求解能力.属于基础题.18如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1）证明：；（2）若面面，求到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）连接交于，连接.通过证明,证得平面由此证得.（2）先证得是三棱锥的高，利用题目所给条件计算出和，根据等体积列方程，解方程求得到平面的距离.

13、【详解】（1）连接交于，连接.在菱形中，是的中点，又因为，所以所以，又，所以 又，所以. （2）因为面面，面面 ， ，所以，即是三棱锥的高 依题意可得，是等边三角形，所以，在等腰， 经计算得，等腰三角形的面积为 设到平面的距离为，则由可得，解得所以到平面的距离为【点睛】本小题主要考查空间线线垂直的证明，考查空间点到平面距离的求法，属于中档题.19已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）椭圆的标准方程为.（2）1【解析】（1）根据左焦点坐标得到，根据椭圆的定义求得，进而求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）联立直线和椭圆的

14、方程，利用根与系数关系求得弦长，利用点到直线距离求得高，进而求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.【详解】（1） 依题意可得解得，右焦点，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，由得 由得，到的距离 当且仅当，即时，得，面积取得最大值【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的定义，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用基本不等式求最大值，综合性较强，属于较难的题目.求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用弦长公式求得弦长，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值.20下图是某市年至年环境基础设施投资额(单位：亿元)的条形图（1）若

15、从年到年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于亿元的概率；（2）为了预测该市年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型：；根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型：(i)分别利用这两个模型，求该地区年的环境基础设施投资额的预测值;(ii)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【答案】（1）（2）(i) 利用模型,预测值为226.1亿元，利用模型,预测值为256.5亿元(ii)见解析【解析】（1）现将年投资额中抽取两年的基本事件列举出来，然后计算出符合“两年的投资额的平均数不少于亿元”事件的个数，由此求得

16、所求的概率.（2）(i)将分别代入两个回归直线方程，计算出相应的预测值. (ii)根据散点图的变化趋势进行分析，可得利用模型得到的预测值更可靠.根据（i）中的预测值值进行分析，也可以得出利用模型得到的预测值更可靠.【详解】（1）从条形图中可知，2011年到2015年这五年的投资额分别为122亿、129亿、148亿、171亿、184亿，设2011年到2015年这五年的年份分别用表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：共10种，其中满足两年的投资额的平均数不少于140亿元的所有基本事件有：共7种， 所以从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率

17、为（2）(i)利用模型,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).利用模型,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元). (ii)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下：画出2001年至2017年环境基础设施投资额(单位：亿元)的散点图（）从散点图可以看出,2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2011年相对2010年的环境基础设施投资额有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2011年开始环境基础设施投资额的变化规

18、律呈线性增长趋势,利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.【点睛】本小题主要考查利用列举法求古典概型的概率，考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法.属于中档题.21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，

19、讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.【详解】（1） 若，在上单调递减； 若，当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增. （2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意. 若，由（1）可知，的最小值为 令，所以在上单调递增，又，当时，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点令，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以当时， 结合单调性可知在有一个零点综上所述，若有两个零点，的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最