第3.1节--二维随机变量——概率论与数理统计李长青版课件

1、第三章,多维随机变量及其分布,在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两,例如:用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、,含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机,这就需要我们研究多维随机变量.,个以上的随机变量来描述.,变量之间的联系, 就需要把它们作为一个整体来考虑.,第一节 二维随机变量,一、二维随机变量和联合分布函数,定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是,定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。,它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随,机变量。,设X =

2、X ()与Y = Y()是定义在上的两个随机变量, 由,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维随机变量 (X , Y )的,所示角形区域的概率.,(x, y),一组可能的取值,则 F (x, y) 表示(X , Y ) 的取值落入下图,(X,Y)的联合分布函数满足如下基本性质：,(2),(1)F(x,y)是变量x, y的不减函数.,即对于任意固定的 ,当 时, ;,对于任意固定的 , 当 时, .,事实上, F (x2,y1), F (x1,y2),+ F (x1,y1),F(x2,y2),(4)对于任意 及 ，有,例1,设,讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布

3、函数？,解,x+ y = 1,故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.,例2 设二维随机变量 的分布函数为,(1) 试确定常数A、B、C;,解,(1) 由分布函数的性质(2)知,由此解得,从而有,(2) 由3.2式及上式可得,二、二维离散型随机变量,若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无,限可列多对,则称( X,Y ) 为二维离散型随机变量。,且( X, Y )取各对可能值的概率为,定义3.3：设(X,Y)的一切可能值为,(X,Y)的分布律也可用表格形式表示,离散型随机变量 X，Y 的联合分布函数为,(1)非负性:,例3 从一个装有2个红球,3个白球和2个黑球的袋中随机

4、,解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2. (X,Y)的所有可,由古典概率计算可得,地取2个球,设X和Y分别表示取出的红球数和黑球数,求,(X,Y)的分布律,并求PX1,Y2,PX+Y=2,及PX=1.,能值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0).,于是(X,Y)的分布可用表示,由(X,Y)的分布律,所求概率为,三 、二维连续型随机变量,定义3.4：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函,函数, 简称为概率密度.,则称(X,Y)为二维连续型随机变量.,概率密度 f(x, y) 的性质：,(3) 若 在连续点 处，有,(4) 设 为 平面的一区

5、域，则,例4 若(X,Y)的联合概率密度函度为,试求:(1)常数c;,(2)求出它的分布函数,(3) P(X,Y)G,其中G是直线 y = 2, x = 1, x轴和 y轴,围成的区域,解,(1) 由联合概率密度的性质, 有,所以,(2),x,y,所以, 当x0,y0时,即:,(3) 区域如图所示, 则,设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变,设(X, Y)在区域G上服从均匀分布, D为G内的一区,二维均匀分布,则称(X, Y)在区域G上服从均匀分布.,量(X, Y)的概率密度为,域, 即 DG, 且 D 的面积为 S(D), 那么,若 ( X, Y ) 的概率密度为,二维正态分布,其中,则称 ( X, Y ) 服从二维正态分布，记为,4、n维随机变量,设E是