（新课标）2020版高考数学总复习第五章第二节平面向量基本定理及坐标表示课件文新人教A版.pptx

1、第二节平面向量基本定理及坐标表示,1. 平面向量的基本定理,2. 平面向量的坐标运算,3. 平面向量共线的坐标表示,教材研读,考点一 平面向量基本定理的应用,考点二 平面向量的坐标运算,考点三 平面向量共线的坐标表示,考点突破,教材研读,1.平面向量的基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2. 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,提醒理解基底应注意以下三点: (1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;

2、 (3)如果对于一组基底e1,e2,有a=1e1+2e2=1e1+2e2,那么可以得到,2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=. (2)向量坐标的求法 (i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),|=.,3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则abx1y2-x2y1=0. 提醒应用向量共线的坐标表

3、示应注意两点: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有 可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0. (2)判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后判断两向量是否共线.,知识拓展 1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为. 2.已知ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则ABC的重心G的坐标为.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.( ) (3

4、)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示.() (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件可表示成=.( ),(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) (6)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标不变.( ),答案(1)(2)(3)(4)(5)(6),2.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是() A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1,D,答案D选项A中,设e1+e2=e1

5、,则无解;,选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则无解; 选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则无解; 选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所 有向量的一组基底.,3.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=() A.(-2,-1)B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2),答案D因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=-=(-1,2).,D,4.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点 O,则的坐标为() A.B. C.D.,答案D=+=(-2,3)+(3,7)=(

6、1,10), =, =.,D,5.(教材习题改编)已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,t).若与共线,则t= .,答案-4,解析=(2,1)-(-2,-3)=(4,4), =(-7,t)-(1,4)=(-8,t-4). 因为与共线, 所以4(t-4)-4(-8)=0. 即4t+16=0,所以t=-4.,平面向量基本定理的应用,考点突破,典例1在ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点, AQ与CP的交点为M,又=t,则实数t的值为.,答案,解析因为=+, 所以3=2+, 即2-2=-, 所以2=. 即P为AB的一个三等分点(靠近A点), 又因为A,M,Q三点共

7、线,所以可设=, 所以=-=- =-=+,又=t=t(-)=t =-t. 故解得故t的值为.,方法技巧 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该组基底的线性组合,再进行向量的运算. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 提醒零向量和共线向量不能作基底.,1-1在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=+,则+=.,答案,解析解法一:连接AC.由=+,得=(+)+( +),则+=0,得+ =0,得+=0.又因为,不共线,所 以由平面向量

8、基本定理得解得所以+=. 解法二:(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于点T,由已知易得AB=AT, =+, 即=+, T,M,N三点共线,+=1,+=.,平面向量的坐标运算 命题方向一已知向量的坐标进行运算,典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,= -2b.求: (1)3a+b-3c; (2)满足a=mb+nc的实数m,n; (3)M,N的坐标及的坐标.,解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).,(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42)

9、. (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5), 解得 (3)设O为坐标原点, =-=3c, =3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20). 又=-=-2b, =-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), N(9,2),=(9,-18).,命题方向二解析法(坐标法)在向量中的应用 典例3向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=.,答案4,规律总结 1.向量坐标运算的策略 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用

10、向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.,2.向量问题坐标化 当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时,可建立平面直角坐标系,向量坐标化,将向量问题转化为代数问题,更便于计算求解.,2-1已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=() A.(-23,-12)B.(23,12) C.(7,0)D.(-7,0),答案A由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得 所以c=(-23,-12).,A,2-2如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=+, 则+的取值范围是

11、.,答案1,3,解析建立如图所示平面直角坐标系, 令正方形的边长为2,则A(0,0),C(2,2),B(2,0),D(0,2),P为DC边上的动点,可设P(x,2),x0,2, =(x,2),易知=(2,2),=(2,-2),且=+, +=,令f(x)=(0 x2), f(x)在0,2上单调递减, f(x)max=f(0)=3, f(x)min=f(2)=1. 故+的取值范围是1,3.,平面向量共线的坐标表示 命题方向一利用向量共线求坐标或参数,典例4(1)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为. (2)(2018课标全国,13,5分)已知向量a=(1,2

12、),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.,答案(1)(3,3)(2),解析(1)由O,P,B三点共线,可设=(4,4),则=-=(4-4, 4). 又=-=(-2,6),与共线, 所以(4-4)6-4(-2)=0,解得=, 所以=(3,3), 所以点P的坐标为(3,3). (2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=.,命题方向二利用向量共线解决三点共线问题,典例5已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k 的值是.,答案-,解析=-=(4-k,-7), =-=(-2k,-2). A,B,C三点共线,共线, -2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.,规律总结 平面向量共线的充要条件的2种形式 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0. (2)若ab(b0),则a=b.,3-1(2018河南开封模拟)已知平面向量a,b,c满足a=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)c,则实数k=.,答案-8,解析由已知得,a+b=(1,4),因为(a+b)c,所以(-2)4-k=0,所以k=-8.,3-2已知a=(1,0),b=(2,