第9章---弹性力学变分原理

1、弹性力学讲义,第 9 章 弹性力学的变分原理,Chen ping,2008.11.18,第 9 章 弹性力学的变分原理,本章主要内容 本章主要讨论弹性体的应变能, 位移变分方程(Lagrange变分方程), 位移变分法, 应力变分方程(Castigliano变分方程), 应力变分法。由位移变分方程引出极小势能原理, 虚功方程, 伽辽金变分方程, 瑞次法。由应力变分法引出极小余能原理。,第 9 章 变分原理,变分法,变分问题, 在数学上是求泛函的极值问题。,是寻求满足边界条件的一系列偏微分方程组的一种近似解法。,在弹性力学中, 泛函就是能量，变分法则是通过对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理,

2、 从而导出相应的变分方程, 并利用这些变分方程求得弹性力学问题的近似解。,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,一、函数与泛函,函数的函数,函数,x y 面内两点距离,(9-1),(9-2),9-1 变分法的预备知识,一、函数与泛函,曲面的表面积S,变分原理,应变能密度弹性体单位体积的应变能,(9-2a),若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度,泛函的一般形式,9-1 变分法的预备知识,一、函数与泛函,变分原理,应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,二、函数的变分,函数的微分,

3、函数的变分,(9-4),是增量的一阶小量！,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,导数的变分,通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐次边界条件,二、函数的变分,导数的变分等于变分的导数,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,三、泛函的变分,按照泰劳级数展开法则,函数变分,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,三、泛函的变分,(9-5),被积函数变分,泛函的变分,(9-7),也是增量的一阶小量！,服从无穷小量的运算法则！,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,四、泛函的极值问题,=变分问题,泛函取极值,必要的极值条件,取极值的曲线称为泛函的极值曲线。,

4、判别极大值或极小值,(9-8),9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,五、欧拉方程与自然边界条件,曲线被指定通过 A, B 两点，也就是 y(x) 具有边界条件,典型的变分问题,由泛函的极值条件求出函数y(x)满足的方程,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,五、欧拉方程与自然边界条件,(9-10),欧拉方程,9-1 变分法的预备知识,弹性力学的变分原理,五、欧拉方程与自然边界条件,求AB曲线最短时的函数,9-2 应变能与余应变能,弹性力学的变分原理,应变能的概念,1.单向拉伸杆,外力做功,弹性体应变能,单位体积应变能应变能密度,静加载是线性的，没有动能与热能的变化,9-2 应

5、变能与余应变能,弹性力学的变分原理,应变能的概念,2.受均匀剪应力时,应变能密度,3.受复杂应力状态,最终弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态可采用等比例加载得到,9-2 应变能与余应变能,弹性力学的变分原理,热力学定律导出应变能的表达式,物体在外荷载作用下的功能转换：,可逆过程外荷载对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形引起的应变能(内能)。,不可逆过程外荷载对物体所做的功, 一部分转化为物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。,弹性力学研究可逆过程！,9-2 应变能与余应变能,弹性力学的变分原理,热力学定律导出应变能的表达式,弹性体在外荷载作用下的变形过程

6、,等温过程 （加载极其缓慢弹性静力学）,绝热过程 （加载过程很快）,弹性体变形过程近似等温过程！,(9-11),根据热力学第一定律，外载荷所做功的增量等于弹性体的应变能增量,物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元,(9-12),9-2 应变能与余应变能,弹性力学的变分原理,热力学定律导出应变能的表达式,9-2 应变能与余应变能,弹性力学的变分原理,利用高斯公式,(9-12a),热力学定律导出应变能的表达式,弹性力学的变分原理,应力张量的对称性,9-2 应变能与余应变能,应变能密度增量,(11-13),(11-14),代(11-12a),热力学定律导出应变能的表达式,弹性力学的变分原理,9-2

7、 应变能与余应变能,弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态，是状态函数，其增量为全微分（能量守恒定律解释）,Green公式, 适用一般材料，不局限线弹性材料 (能量形式的物理方程),增量为全微分,(9-15),(9-16),与(11-14)比较,热力学定律导出应变能的表达式,弹性力学的变分原理,9-2 应变能与余应变能,弹性体从初始应力和应变为零的状态0，到受荷载作用发生变形后的状态1 的应变能为,积分与路径无关，假设按等比例加载,应变能密度为,对线弹性力学,热力学定律导出应变能的表达式,弹性力学的变分原理,(9-17),应变能密度为,弹性力学的变分原理,9-2 应变能与余应变能,9

8、-2 应变能与余应变能,各向同性材料,弹性体V的应变能,(9-17),(9-18),(9-19),热力学定律导出应变能的表达式,弹性力学的变分原理,根据物理方程,9-2 应变能与余应变能,余应变能,1.单向拉伸,应变能密度,余应变能密度,线弹性材料,(9-20),(9-21),(9-22),(9-23),弹性力学的变分原理,2.复杂应力状态,9-2 应变能与余应变能,余应变能,线弹性材料,弹性体V的余应变能,(9-24),(9-25),弹性力学的变分原理,弹性力学的变分原理,广义虚功原理,虚位移原理,虚应力原理,最小势能原理,最小余能原理,广义势能变分原理,广义余能变分原理,平衡方程和应力边界

9、条件,几何方程和位移边界条件,拉格朗日乘子,应变能密度,余能密度,应力应变关系,应力应变关系,（为自变函数）,（为自变函数）,广义虚功原理,变形可能的位移简称为容许位移变形可能的应变简称为容许应变,静力可能的应力, 简称为容许应力,不一定是真实的，但真实的一定在其中！,弹性力学的变分原理,弹性体V,满足连续性条件,满足平衡性条件,可能功原理：外力在容许位移上做的功等于静力可能的应力在容许应变上做的功。,(9-29),证明：,广义虚功方程广义虚功原理,弹性力学的变分原理,ij满足平衡方程,广义虚功原理,利用高斯公式,可能功原理广义虚功方程的特性,适用于任何性质的材料； 广义虚功方程中的位移、应变

10、与应力是同一弹性体的两种不同的变形状态和受力状态, 二者彼此独立； 对任意容许位移和容许应变, 使广义虚功方程成立的函数必是静力可能的应力； 如果对任意静力可能的应力,满足广义虚功方程的位移函数和应变必是变形可能的位移和应变。,弹性力学的变分原理,变形可能,广义虚功方程成立,静力可能,广义虚功原理,是静力可能的应力,广义虚功原理,对任意,使广义虚功方程成立的ij,(9-29),高斯公式,广义虚功方程,9-3 虚位移原理,变分原理,虚位移方程 (虚位移原理),虚应力方程 (虚应力原理),功的互等定理,位移变分方程 (最小势能原理),应力变分方程 (最小余能原理),位移作为独立变量,应力作为独立变

11、量,两组载荷,虚位移原理: 对于静力可能的应力,外力在虚位移上所做的功等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的功外力虚功等于内力虚功。,9-3 虚位移原理,变分原理,(9-32),其中,广义虚功方程 (11-29) 应用于两组变形可能状态，相减,虚位移方程,从广义虚功方程中，静力可能的应力sij和可能变形可能的位移uki 及其对应的应变kij可以是彼此独立而无任何关系的受力状态和变形状态。 如果取真实的应力为静力可能的应力，则可导出弹性体的虚位移原理。 设几何可能的位移为 ui为真实位移， ui 表示真实位移邻近的位移的微小改变量，称为虚位移,因为真实位移ui 满足位移边界条件，所以，要求uk

12、i满足位移边界条件，必须有 ui=0 （在Su上） （b） 将（a）代入几何方程，有,将（a）（c）代入广义虚功方程,由于 ui=0 （在Su上）,虚位移方程,(9-32),9-3 虚位移原理,变分原理,虚位移原理,虚位移原理等价于平衡微分方程和应力边界条件。,(9-32) 右端项,代回(9-32),9-3 虚位移原理,变分原理,虚位移原理,虚位移原理等价于平衡微分方程和应力边界条件。,平衡微分方程,应力边界条件,变分原理,虚位移方程,(9-37),(9-32),位移变分方程,弹性体应变能的变分等于外力虚功。,设：VP 为外力势能,9-4 最小势能原理位移变分方程,变分原理,(a),(9-38

13、),(9-39),为已知外力函数，在虚位移过程中为不变量,弹性体的总势能等于应变能与外力势能之和,9-4 最小势能原理位移变分方程,极小势能原理,在所有变形可能的位移中, 实际存在的位移使总势能取极小值。,(9-40),J(ui) 是ui的泛函,变分原理,极小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件。,最小势能原理,变分原理,证明：,最小势能原理,变分原理,(9-41),上述变分问题是极小值，可证明如下：,对线弹性材料,最小势能原理,变分原理,是极小值，解的唯一性，是最小值最小势能原理,为正,最小势能原理,变分原理,总之，以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题时，按过去的方法是要求解以位移表示

14、的平衡方程，使所求的位移分量，在Su上满足位移边界条件，在S 上满足以位移表示的静力边界条件。 而现在可归结为求解位移变分方程，或者去求总势能的极值。 求解方法：最初所设的位移毋需事先满足静力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以，因静力边界条件会自动满足的。,最小势能原理,变分原理,例题：悬臂梁原长l，承受集中载荷P，图示，已知梁的抗弯刚度为EI，设曲线为 试用最小势能原理求梁自由端处的挠度。,解：,由梁的边界条件,解得,又由,即,而弯曲应变能,v是梁的挠度，1/表示梁轴线挠曲后的曲率，则梁的应变能为：,由于,在小变形情况下,小变形情况下，,故,由最小势能原理,故,与精确解相同！,变分原理,

15、虚应力原理,对于变形可能的应变，虚应力的外余虚功等于内余虚功。,(9-33),应力变分应满足的条件：,（9-31）,虚应力原理等价于几何方程和位移边界条件。,证明：,由虚应力条件,虚应力原理,(9-34),变分原理,(11-34)- (11-33),虚应力原理,即：,功的互等定理,第一组外力在第二组位移上所做的功, 等于第二组外力在第一组位移上所做的功。这便是功的互等定理。,仅适用于线弹性问题！,(9-36),虚应力原理,功的互等定理,广义虚功方程,交叉代入，然后相减,(9-29),9-5 最小余能原理 应力变分方程,变分原理,变分,证明：,(9-43),9-2已证,9-5 最小余能原理,变分

16、原理,应力变分方程,移项,得证,代虚应力方程,9-5 最小余能原理,变分原理,柔度系数,是 的逆张量,最小余能原理等价于几何方程和位移边界条件。,9-5 最小余能原理,变分原理,证明：,增加一零项,9-5 最小余能原理,变分原理,有：,9-6 基于最小势能原理的近似计算,变分原理,根据最小势能原理, 弹性体中产生的真实位移应该是所有变形可能位移中能使总势能最小值者。 所谓变形可能位移, 是指那些在物体内部连续、在边界上满足给定的几何边界条件的位移。 显然, 能够满足这两个要求的位移可能有无限多组。 要利用极值条件中选出使总势能取极小值的那一组, 实际上又回到拉梅方程的边值问题, 在数学上将遇到

17、很大的困难。,为了实用的目的, 我们退而求它的近似解。 具体方法是缩小极值函数的寻找范围，在较小范围的变形可能位移中, 选出一组使总势能取极小值的位移。 当然一般地说, 该组位移并不是真正的, 但却是在所有参加挑选的那些位移中最接近真实位移的一组, 因此可以作为问题的近似解。,9-6 基于最小势能原理的近似计算,9-6 基于最小势能原理的近似计算,假设变形可能位移的形式表示为：,(9-57),1. 瑞利李兹法,Am，Bm，Cm为相互独立的3m个系数，u0，v0，w0为设定的函数，它们的边界值等于给定的位移， um，vm，wm为在边界上其值等于边界上其值为零的设定函数。 不论系数如何取值，总能满

18、足位移边界条件。是变形可能的位移族。,(a),9-6 基于最小势能原理的近似计算,应变能变分,总势能变分,(b),9-6 基于最小势能原理的近似计算,(9-58),m=1,2,3,应变能是系数的 Am，Bm，Cm 二次函数 上述方程是各个系数的线性代数方程组!,9-6 基于最小势能原理的近似计算,1.伽辽金法,基本思想对于选择的位移，不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件,(9-37),位移变分方程,代回,9-6 基于最小势能原理的近似计算,满足应力边界条件，该项为零,得伽辽金变分方程,(9-59),假设位移函数的形式同瑞利李兹法(9-57)代入上式得另一种近似方法伽辽金法,9-6 基于最小势能原理的近似计算,伽辽金法,上述方程是各个系数 的线性代数方程组。,(9-60),例题： 平面矩形薄板, 如图所示, 不计体力, 试求薄板的位移。 设该问题为平面应力问题, 这时, 弹性体的应变能为,9-6 基于最小势能原理的近似计算,采用瑞利李兹法,(f),(e